Równanie rekurencyjne i wzór ciągu okresowego

[Flakez]

Witam,

Jeśłi mam dane równanie :
\(\displaystyle{ a_{n+1} = -2 a_{n} - a _{n- 1}

a _{0} = 1, a _{1} = -3}\)

i po wyznaczeniu z równania charakterystycznego \(\displaystyle{ q _{0} = -1 ,}\) oraz rozwiązaniu równania

\(\displaystyle{ A(-1) ^{n} + B(-1)^{n}}\) wyszło mi \(\displaystyle{ A = 1 i B = 2}\) , to w jaki sposób ułożyć teraz z tego równanie \(\displaystyle{ A _{n}}\) ?

Drugie zadanie, to w jaki sposób wyznaczyć wzór ogólny tego ciągu okresowego ?

\(\displaystyle{ 2,0,-2,0,2,0,-2,0 ..}\)

Za pomoc z góry dziękuję

[yorgin]

Rozwiązanie ogólne pierwszego jest inne:

\(\displaystyle{ a_n=(An+B)(-1)^n}\).

Poza tym mam wrażenie, że nie do końca wiesz, co robisz.

W drugim można poeksperymentować z funkcją cosinus (która dla wielokrotności pewnego argumentu przyjmuje wartości kolejno \(\displaystyle{ 1, 0, -1, 0, 1, \ldots}\) etc).

[arek1357]

\(\displaystyle{ a_{n}=(1+2n)(-1)^n}\)


drugie:

\(\displaystyle{ a_{n}=2\cos \frac{\pi}{2}(n-1)}\)


W pierwszym po prostu pomylił postać rozwiązania dla przypadku w którym oba pierwiastki równania charakterystycznego są różne z przypadkiem gdy mamy pierwiastek podwójny.

[Mariusz M]

Jak się rozwiązuje z użyciem funkcji tworzących to wszystko widać

\(\displaystyle{ a_{n+1} = -2 a_{n} - a _{n- 1}

a _{0} = 1, a _{1} = -3}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}-a_{n-2}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}= -2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n}}- \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=-2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}-x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{1}x-a_{0}=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0} \right)-x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
A\left( x\right)+3x-1=-2x\left( A\left( x\right)-1 \right)-x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)+3x-1=-2xA\left( x\right)+2x-x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+2x+x^2\right)=-x+1\\
A\left( x\right)= \frac{-x+1}{\left( x+1\right)^2 }=\frac{-x-1+2}{\left( x+1\right)^2 }\\
A\left( x\right)=-\frac{1}{1+x}+\frac{2}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^n x^n}\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{1}{1+x} \right)=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^nx^n} \right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}nx^{n-1}}\\
= \sum_{n=1}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}nx^{n-1}}= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n+1}\left( n+1\right)x^{n} }=-\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}\left( n+1\right)x^{n} } \\
\frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^nx^{n}} \\
\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }=\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}\left( n+1\right)x^{n} } \\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{-1 \cdot \left(-1\right)^nx^{n}}+\sum_{n=0}^{2\infty }{\left(-1\right)^{n}\left( n+1\right)x^{n} } \\
a_{n}=-1 \cdot 1^n+2\left( n+1\right) \cdot \left( -1\right) ^{n}\\
a_{n}=\left( 2n+1\right) \cdot \left( -1\right)^{n}}\)

2.

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-4}\\
a_{0}=2,a_{1}=0,a_{2}=-2,a_{3}=0\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=4}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=4}^{\infty}{a_{n-4}x^{n}}\\
\sum_{n=4}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=x^4\sum_{n=4}^{\infty}{a_{n-4}x^{n-4}}\\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{3}x^3-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0} \right)=x^4\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right)+2x^2-2=x^4A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1-x^4\right)=2-2x^2\\
A\left( x\right)= \frac{2\left( 1-x^2\right) }{1-x^4}\\
A\left( x\right)= \frac{2\left( 1-x^2\right)}{\left( 1-x^2\right)\left( 1+x^2\right) } \\
A\left( x\right)=\frac{2}{1+x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{a}{1-ix}+\frac{b}{1+ix}\\
\frac{2}{1+x^2}=\frac{a}{1-ix}+\frac{b}{1+ix}\\
a\left( 1-ix\right)+b\left( 1+ix\right)=2\\
\begin{cases} -a+b=0 \\ a+b=2 \end{cases}\\
\frac{2}{1+x^2}=\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{i^{n}x^n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -i\right)^{n}x^{n} }\\
a_{n}=i^{n}+\left( -i\right)^{n}\\
\left| i\right|=1\\
\arg\left( i\right)=\frac{\pi}{2}\\
a_{n}=\cos{\left( \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }+i\sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }+\cos{\left( \frac{\pi}{2}n \right) }-i\sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }\\
a_{n}=2\cos{\left( \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }}\)