Dwumian Newtona - dowód

[chudy_b]

Witam
Pomózcie mi z tym zadaniem, zupełnie nie wiem z której strony je ugryźć

Udowodnij stosując metody kombinatoryki, że dla dowolnych liczb naturalnych n, m,
\(\displaystyle{ {n+m\choose 2}={n\choose 2}+{m\choose 2}+nm}\)

pozdrawiam

[jasny]

\(\displaystyle{ L={{n+m}\choose2}=\frac{(n+m)!}{2(n+m-2)!}=\frac{(n+m-1)(n+m)}{2}}\)
\(\displaystyle{ P={n\choose2}+{m\choose2}+nm=\frac{n!}{2(n-2)!}+\frac{m!}{2(m-2)!}+nm=\frac{(n-1)n}{2}+\frac{(m-1)m}{2}+nm= \frac{n^2-n+m^2-m+2nm}{2}=\frac{(n+m)^2-(n+m)}{2}=\frac{(n+m)(n+m-1)}{2}=L}\)

[przemk20]

A kombinatorycznie to wyglada tak
Mamy zbior (n+m) elementowy i mamy wybrac dwa elementy, mozemy to zrobic na, \(\displaystyle{ {n+m \choose 2}}\) sposobow, albo mozna podzielic ten zbior na 2 podzbiory m-elem. i n-elem., wtedy 2 liczby mozemy wybrac ze zbioru m- elem., czyli \(\displaystyle{ m \choose 2}\) sposobow, albo 2 wybrac ze zbioru n elementowego \(\displaystyle{ n \choose 2}\) sposobow, albo 1 ze zbioru m-elem. i 1 ze zbioru n-elem., czyli \(\displaystyle{ n m}\) sposobow, czyli razem dostajemy: \(\displaystyle{ {m \choose 2} + {n \choose 2}+n m}\) sposobow, zatem:
\(\displaystyle{ {m \choose 2} + {n \choose 2}+n m= {m+n \choose 2}}\)