rozwiazac rownanie

[Nesquik]

Ile jest calkowitoliczbowych nieujemnych rozwiazan rownania:
\(\displaystyle{ x+y+z+w=12}\) takich ,ze \(\displaystyle{ x,y,z,w \le 5}\)

Wiem ze wszystkich rozwiazan bedzie \(\displaystyle{ {11 \choose 3}}\) a jak teraz rozpatrzec ten warunek?

[arek1357]

Najpierw zrób sobie dla:

\(\displaystyle{ 5 \ge x \ge y \ge z \ge w \ge 0}\) czyli jest to:

\(\displaystyle{ P(12,1),P(12,2),P(12,3),P(12,4)}\) ale pamiętając, że największą liczbą w tym rozkładzie jest \(\displaystyle{ 5}\) a najmniejszą \(\displaystyle{ 1}\) nie jest to pełny rozkład

Zresztą \(\displaystyle{ P(12,1),i,P(12,2)=0}\) jak łatwo zauważyć,
I teraz każdy z tych rozkładów mnóż sobie przez ilość permutacji czasem z powtórzeniem nawek potem wyniki zsumuj i otrzymasz rozwiązanie!

np: dla trzech zrobimy:

\(\displaystyle{ 5+5+2=12}\) permutacji będzie \(\displaystyle{ \frac{3!}{2! \cdot 1!}=3}\)

\(\displaystyle{ 5+4+3=12}\) permutacji będzie \(\displaystyle{ 3!=6}\)

\(\displaystyle{ 4+4+4=12}\) permutacji będzie \(\displaystyle{ 1}\)

razem: \(\displaystyle{ 3+6+1=10}\)

Podobnie liczysz dla czterech liczb większych od zera, mniejszych lub równych od pięć.


Można też robić z wielomianów charakterystycznych ale tak chyba mniej liczenia.

[Nesquik]

O co chodzi z tym, ze nie jest do pelny rozklad?

Powinno wyjsc \(\displaystyle{ 53}\) dla kolejnygo przypadku i potem to sumujemy?


A generalnie to jest ogólny sposób na takie zadania?