Przestawienie trójmianowe

[Perelman]

Witam, udowodniłem już odpowiednio rozszerzając licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (n-j)!}\), ze równość: \(\displaystyle{ {n \choose k} {k \choose j} = {n \choose j} {n - j \choose k - j}}\) jest prawdziwa. Chcę teraz dowieść to drugim sposobem, ale nie bardzo wiem z czego skorzystać. Podpowiedzi typu: "skorzystaj z trojkata pascala" nic mi nie dadzą. Poradzilibyście coś?

[Everard]

Jakim "drugim sposobem"? Masz na myśli przez uzasadnienie kombinatoryczne? Wielkość po obydwu stronach równania to "Na ile sposobów możemy wybrać ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)elementowego \(\displaystyle{ k}\) elementów, spośród których wyróżniamy \(\displaystyle{ j}\)".

W lewej stronie równania najpierw wybierasz \(\displaystyle{ k}\) elementów spośród \(\displaystyle{ n}\) a potem wyróżniasz \(\displaystyle{ j}\). W prawej stronie równania wybierasz te wyróżnione \(\displaystyle{ j}\), a potem pozostałe \(\displaystyle{ k-j}\). Widzisz, dlaczego musi zachodzić równość?