Witam. Mam takie równanie.
\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_{n} +n^{3}
(jednorodne) pierwiastek r=1
Zatem x _{o} = C _{1} * 1 ^{n} = C_{1}
Teraz x _{s} = an ^{3} +bn^{2}+cn+d
Z tego: a\left(n+1\right) ^{3}+b\left( n+1\right) ^{2} +c\left( n+1\right) +d - an^{3} -bn^{2}-cn-d = n^{3}
Mamy: a\left(3n^{2}+3n+1\right) +b\left( 2n+1\right) +c =n^{3}}\)
Teraz pytanie. Czy ja dobrze robię w przypadku \(\displaystyle{ x_{s}}\)? Jak to rozwiązać dalej?
Równanie rek. niejednorodne.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5745
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Równanie rek. niejednorodne.
Po co kombinujesz zauważ, że:
niech:
\(\displaystyle{ x_{1}=a}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=a+1^3}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=a+1^3 +2^3}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=a+1^3 +2^3+3^3}\)
..............................................
\(\displaystyle{ x_{n+1}=a+1^3+2^3+3^3+...+n^3}\)
suma z sześcianami się ładnie zwija i po zadaniu
niech:
\(\displaystyle{ x_{1}=a}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=a+1^3}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=a+1^3 +2^3}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=a+1^3 +2^3+3^3}\)
..............................................
\(\displaystyle{ x_{n+1}=a+1^3+2^3+3^3+...+n^3}\)
suma z sześcianami się ładnie zwija i po zadaniu
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie rek. niejednorodne.
Można było z funkcji tworzących skorzystać ,
wtedy wystarczyłoby zróżniczkować szereg geometryczny albo skorzystać z dwumianu Newtona
\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_{n} +n^{3}\\
x_{n}=x_{n-1}+\left(n-1\right)^3\\
X\left( t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}= \sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n-1}t^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}=t\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n-1}t^{n-1}} \right)+1+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}=t\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{x_{n}t^{n}} \right)+1+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
X\left( t\right)-x_{0}=tX\left( t\right)+1+\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
\left( n+3\right)\left( n+2\right)\left( n+1\right)+a_{2}\left( n+2\right)\left( n+1\right)+a_{1}\left( n+1\right)+a_{0}=n^3-3n^2+3n-1\\
a_{2}=-9\\
a_{1}=19\\
a_{0}=8\\
X\left( t\right)\left( 1-t\right)=1+x_{0}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+3\right)\left( n+2\right)\left( n+1\right)t^n }-9 \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+2\right)\left( n+1\right) t^n }+19 \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)t^n }-8 \sum_{n=0}^{ \infty }{t^n}\\
X\left( t\right)\left( 1-t\right)=1+x_{0}+ \frac{ \mbox{d}^3}{ \mbox{d}t^3}\left( \frac{1}{1-t} \right)-9 \frac{ \mbox{d}^2}{ \mbox{d}t^2}\left( \frac{1}{1-t} \right)+19 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t}\left( \frac{1}{1-t} \right)-8 \cdot \frac{1}{1-t}\\
X\left( t\right)\left( 1-t\right)=1+x_{0}+\frac{6}{\left( 1-t\right)^4 }-\frac{18}{\left( 1-t\right)^3 }+\frac{19}{\left( 1-t\right)^2 }-\frac{8}{1-t}\\
X\left( t\right)= \frac{1+x_{0}}{1-t}- \frac{8}{\left( 1-t\right)^2 }+\frac{19}{\left( 1-t\right)^3 }-\frac{18}{\left( 1-t\right)^4 }+\frac{6}{\left( 1-t\right)^5 }}\)
wtedy wystarczyłoby zróżniczkować szereg geometryczny albo skorzystać z dwumianu Newtona
\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_{n} +n^{3}\\
x_{n}=x_{n-1}+\left(n-1\right)^3\\
X\left( t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}= \sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n-1}t^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}=t\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n-1}t^{n-1}} \right)+1+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{x_{n}t^{n}}=t\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{x_{n}t^{n}} \right)+1+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
X\left( t\right)-x_{0}=tX\left( t\right)+1+\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n^3-3n^2+3n-1\right)t^n }\\
\left( n+3\right)\left( n+2\right)\left( n+1\right)+a_{2}\left( n+2\right)\left( n+1\right)+a_{1}\left( n+1\right)+a_{0}=n^3-3n^2+3n-1\\
a_{2}=-9\\
a_{1}=19\\
a_{0}=8\\
X\left( t\right)\left( 1-t\right)=1+x_{0}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+3\right)\left( n+2\right)\left( n+1\right)t^n }-9 \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+2\right)\left( n+1\right) t^n }+19 \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)t^n }-8 \sum_{n=0}^{ \infty }{t^n}\\
X\left( t\right)\left( 1-t\right)=1+x_{0}+ \frac{ \mbox{d}^3}{ \mbox{d}t^3}\left( \frac{1}{1-t} \right)-9 \frac{ \mbox{d}^2}{ \mbox{d}t^2}\left( \frac{1}{1-t} \right)+19 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t}\left( \frac{1}{1-t} \right)-8 \cdot \frac{1}{1-t}\\
X\left( t\right)\left( 1-t\right)=1+x_{0}+\frac{6}{\left( 1-t\right)^4 }-\frac{18}{\left( 1-t\right)^3 }+\frac{19}{\left( 1-t\right)^2 }-\frac{8}{1-t}\\
X\left( t\right)= \frac{1+x_{0}}{1-t}- \frac{8}{\left( 1-t\right)^2 }+\frac{19}{\left( 1-t\right)^3 }-\frac{18}{\left( 1-t\right)^4 }+\frac{6}{\left( 1-t\right)^5 }}\)