Na ile sposobów można zbudować sumę.

[jaa150]

Na ile sposobów można zbudować sumę mając do dyspozycji tylko liczby: 1, 2.

[musialmi]

Sumę ilu składników?

[jaa150]

Nie mam podane ile składników.

Mam podaną liczbę np 7.

I dla 7 rozwiązanie będzie takie:
Dla składników: \(\displaystyle{ 2 2 2 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{4!}{3!}=4}\)
Dla składników \(\displaystyle{ 2 2 1 1 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{5!}{3!*2!}=10}\)
Dla składników \(\displaystyle{ 2 1 1 1 1 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{6!}{5!}=6}\)
Dla składników \(\displaystyle{ 1 1 1 1 1 1 1}\)
\(\displaystyle{ 1}\)

Czyli w sumie \(\displaystyle{ 4+10+6+1=21}\)

Da się jakoś uniwersalny wzór na to znaleźć?

[a4karo]

Wsk
Jak uzyskasz \(\displaystyle{ n+1}\) z mniejszych liczb?

[arek1357]

Wyda mi się że tu trzeba pojechać funkcjami tworzącymi:

\(\displaystyle{ (1+x+x^2)^k(1+x)^k=n}\)

I współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\)

[Gouranga]

arek1357, pomysł ok ale w wykładnikach powinny być k i l bo niekoniecznie będzie ich tyle samo a do tego wybór dwójek wystarczy rozpatrzyć do 3, jedynek do 7

\(\displaystyle{ \left(z^0 + z^1 + z^2\right)^3 \left(z^0 + z^1\right)^7 \left[z^7\right]}\)

[arek1357]

Masz racje że nie będzie tyle samo lecz może to iść nawet do nieskończoności ponieważ wyższe współczynniki nie mają wpływu na wynik, dlatego potęgą się nie bardzo przejmowałem


a poza tym rozszerzyłem rozumowanie do dowolnej liczby \(\displaystyle{ n}\)

[a4karo]

Zadanie jest raczej proste:
\(\displaystyle{ n+1}\) można uzyskać albo z \(\displaystyle{ n}\) dodając 1 albo z \(\displaystyle{ n-1}\) dodając 2.

Jeżeli \(\displaystyle{ M_n}\) oznacza liczbę sposobów na uzyskanie sumy \(\displaystyle{ n}\), to co wynika z powyzszego rozumowania?

[jaa150]

Ok dzięki już widzę

To będzie po prostu ciąg Fibonacciego.