Sposoby wysiadania z wind 5-ciu osób na 9-ciu piętrach

[haba]

Witam, mam problem z poniższym zadaniem:
Oblicz, na ile sposobów 5 osób może wysiąść z windy na 9 piętrach, jeśli:
a) na każdym piętrze wysiada co najwyżej jedna osoba
b) dokładnie dwie osoby wysiadają na tym samym piętrze.

odpowiedzi: a) 216 b) 2160

Wydawało mi się, że w przykładzie a będzie to wariacja bez powtórzeń \(\displaystyle{ \frac{9!}{(9-5)!}}\) , jednak odpowiedź sugeruje zastosowanie kombinacji \(\displaystyle{ {9 \choose 5}}\) . Mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego w ten sposób?

Na przykład b nie mam w ogóle pomysłu i również prosiłbym o rozwiązanie z wytłumaczeniem.

[pyzol]

Kwestia, czy rozróżniasz ludzi, czy nie. Jak dla o ile nie jest to zaznaczone, to ludzi powinniśmy rozróżniać. Także Ty masz rację.
Druga odpowiedź też mnie dziwi.

[haba]

Przykład b rozwiązałbym tym sposobem:
Liczę iloma sposobami można z tych 5-ciu ludzi utworzyć jedną parę: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) co daje 10 możliwości.
Potem, gdy już mam jedną parę i 3 pojedyncze osoby liczę możliwości pięter na których mogą wysiąść (mamy 4 'jednostki'):
\(\displaystyle{ \frac{9!}{(9-4)!}}\) = 9*8*7*6 = 3024
Następnie mnożę ilość możliwości par * możliwości wysiadania: 10*3024=30240
Jak widać wynik jest dosyć mocno rozbieżny z tym w odpowiedziach. Nie mam pojęcia jak można by to rozwiązać inaczej.

[pyzol]

Coś w tym stylu.
Najpierw wybierasz jakie osoby będą w parze, ale wybierasz również im piętro:
\(\displaystyle{ \binom{5}{2}\cdot 9}\)
Pozostałe 3 osoby rozkładasz po jednej w pozostałych 8 piętrach, więc:
\(\displaystyle{ \frac{8!}{5!}}\).
Gdybyśmy nie rozróżniali, to wtedy, wybierasz piętro, na którym znajdą się dwie osoby na \(\displaystyle{ 9}\) sposobów. Następnie wybierasz na \(\displaystyle{ \binom{5}{3}}\) sposobów gdzie wysiądzie po jednej osobie.
Ostatnia wersja jest taka, że interpretujemy to tak, na jednym z pięter znajdują się dwie osoby, na pozostałych różnie, mogą być dwie, mogą być trzy (osoby może rozróżniać, bądź nie). To jednak trochę żmudne w liczeniu i ze względu na moje lenistwo niewykonalne dla mnie

[norwimaj]

a) Jeśli osoby są nierozróżnialne, to \(\displaystyle{ \binom95=126,}\) czyli nie \(\displaystyle{ 216.}\) Jeśli osoby rozróżnialne, to \(\displaystyle{ 9\cdot8\cdots5=15120,}\) czyli też nie.

b) (przy interpretacji: "istnieje dokładnie jedno piętro, na którym wysiadają dokładnie dwie osoby")
Jeśli osoby są nierozróżnialne, to

\(\displaystyle{ 9\cdot\binom83 + 9\cdot 8=576.}\)

Jeśli rozróżnialne, to

\(\displaystyle{ 9\cdot \binom52 \cdot 8\cdot7\cdot6 + 9\cdot\binom52\cdot8=30960.}\)

[pyzol]

Także samo zadanie jest trochę nieprecyzyjnie napisane. Ciężko o dokładną interpretację.
Jednak najbardziej zaskakujące są odpowiedzi.