Wzór na n-ty wyraz ciągu 1,1,1,1,1,..., 1, 2,2,2,2,...,2,...

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Rozważmy skończony ciąg \(\displaystyle{ L_k(n)}\) dany poprzez

\(\displaystyle{ \underbrace{1,1,1,1,\ldots, 1}_{k\text{ wyrazów}}, \underbrace{2,2,2,2,\ldots, 2}_{k-1\text{ wyrazów}},\ldots, \underbrace{k-1, k-1}_{2\text{ wyrazy}}, k.}\)

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz tego ciągu to

\(\displaystyle{ L_k(n) = k+1 - \left\lfloor \tfrac{1}{2}\big( -1 + \sqrt{1+8\left( \tfrac{k(k+1)}{2} - n +1\right)}\big) \right\rfloor?}\)

Kto po raz pierwszy to udowodnił?

[arek1357]

Nie wiem czy się gdzieś nie walnąłem ale dla :

\(\displaystyle{ L_{3}(3)}\) powinno być \(\displaystyle{ 1}\)

a mi wychodzi \(\displaystyle{ 2}\) ze wzoru

Natomiast wychodzi mi \(\displaystyle{ L_{3}(3)}\) dobrze dla:

\(\displaystyle{ L_{k}(n)=k-\lfloor \frac{-1+ \sqrt{4k^2+4k+9-8n} }{2}\rfloor}\)


Chodzi o to aby podzielić \(\displaystyle{ n}\) na bloki liczb równych:


\(\displaystyle{ 1 \le n \le k}\)

\(\displaystyle{ k+1 \le n \le 2k-1}\)

\(\displaystyle{ 2k \le n \le 3k-(1+2)}\)

\(\displaystyle{ rk-[1+2+...+(r-1)]+1 \le n \le (r+1)k-(1+2+...+r)}\)

gdzie \(\displaystyle{ r=1,2,...,k}\)

potem rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}r^2+r(k+ \frac{1}{2})+1-n=0}\)

Wyliczam \(\displaystyle{ r}\) i wychodzi wzór

Tak pokrótce

[Spektralny]

Mniej więcej tak.

... 73#1025073

[arek1357]

No podobnie robiłem tylko z tą jedynką się ciut zamotałem potem stwierdziłem że ona jednak tam powinna być tylko nie rozumiem dlaczego ze wzoru nie wychodzi \(\displaystyle{ L_{3}(3)}\)