nierówność, symbol newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
p_bolger
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 1 lis 2014, o 17:34
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy

nierówność, symbol newtona

Post autor: p_bolger »

Udowodnij, że dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ 0 \le k < l \le \frac{n}{2}}\) mamy:

\(\displaystyle{ {n \choose k} < {n \choose l}}\).

Zaczęłam w ten sposób:

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n!}{l!(n-l)!}}\)

Ponieważ liczniki są takie same, to możemy zapisać, że aby nierówność zachodziła, to:

\(\displaystyle{ k!(n-k)! > l!(n-l)!}\)

Zgodnie z założeniem \(\displaystyle{ k< l}\), więc \(\displaystyle{ k! < l!}\)

Tak więc musimy udowodnić, że
\(\displaystyle{ (n-k)! > (n-l)!}\)

No i co teraz?
Dla mnie ta nierówność jest oczywista \(\displaystyle{ k < l}\) więc \(\displaystyle{ (n-k) > (n-l).}\)Ale czy wystarczy to tak zapisać?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

nierówność, symbol newtona

Post autor: Premislav »

Zdecydowanie nie wystarczy (tj. wystarczy dla pokazania tej nierówności, ale ona nie kończy dowodu). Z tego, że \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ c>d}\) nie wynika w żaden sposób, że \(\displaystyle{ ac>bd}\), a chyba próbujesz tu zastosować podobne rozumowanie.
Ja bym proponował podzielić stronami przez \(\displaystyle{ k!(n-l)!}\) (ale nie zpaisywać dalej ułamków, tylko poskracać z def. silni) i zastosować założenie, że \(\displaystyle{ 0 \le k<l \le \frac{n}{2}}\)
Awatar użytkownika
p_bolger
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 1 lis 2014, o 17:34
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy

nierówność, symbol newtona

Post autor: p_bolger »

Rozpisałam to sobie, siedzę nad kartką i nie rozumiem.

\(\displaystyle{ k!(n-k)! > l!(n-l)!}\)

\(\displaystyle{ \frac{(n-k)!}{(n-l)!} > \frac{l!}{k!}}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ l! > k!}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)! > (n-l)!}\)

Ale nie pomaga mi to, aby zobaczyć, że lewa strona jest większa od prawej.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

nierówność, symbol newtona

Post autor: Premislav »

Ja prosiłem, żebyś poskracała, a nie zapisywała ułamki. Jako że \(\displaystyle{ l>k}\) z założenia, to
\(\displaystyle{ \frac{(n-k)!}{(n-l)!}= \prod_{i=1}^{l-k}n-l+i=(n-l+1)...(n-k)}\). Ponadto \(\displaystyle{ \frac{l!}{k!}= l(l-1)...k= \prod_{i=k+1}^{l}i}\). Teraz ponieważ \(\displaystyle{ k<l \le \frac{n}{2}}\), to prawdziwe są nierówności \(\displaystyle{ n-l+1 \ge k+1, n-l+2 \ge k+2}\) i tak dalej, aż do \(\displaystyle{ n-k \ge l}\) - wystarczy je przemnożyć stronami i dostajesz nierówność równoważną tezie.
ODPOWIEDZ