Udowodnij, że dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ 0 \le k < l \le \frac{n}{2}}\) mamy:
\(\displaystyle{ {n \choose k} < {n \choose l}}\).
Zaczęłam w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n!}{l!(n-l)!}}\)
Ponieważ liczniki są takie same, to możemy zapisać, że aby nierówność zachodziła, to:
\(\displaystyle{ k!(n-k)! > l!(n-l)!}\)
Zgodnie z założeniem \(\displaystyle{ k< l}\), więc \(\displaystyle{ k! < l!}\)
Tak więc musimy udowodnić, że
\(\displaystyle{ (n-k)! > (n-l)!}\)
No i co teraz?
Dla mnie ta nierówność jest oczywista \(\displaystyle{ k < l}\) więc \(\displaystyle{ (n-k) > (n-l).}\)Ale czy wystarczy to tak zapisać?
nierówność, symbol newtona
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
nierówność, symbol newtona
Zdecydowanie nie wystarczy (tj. wystarczy dla pokazania tej nierówności, ale ona nie kończy dowodu). Z tego, że \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ c>d}\) nie wynika w żaden sposób, że \(\displaystyle{ ac>bd}\), a chyba próbujesz tu zastosować podobne rozumowanie.
Ja bym proponował podzielić stronami przez \(\displaystyle{ k!(n-l)!}\) (ale nie zpaisywać dalej ułamków, tylko poskracać z def. silni) i zastosować założenie, że \(\displaystyle{ 0 \le k<l \le \frac{n}{2}}\)
Ja bym proponował podzielić stronami przez \(\displaystyle{ k!(n-l)!}\) (ale nie zpaisywać dalej ułamków, tylko poskracać z def. silni) i zastosować założenie, że \(\displaystyle{ 0 \le k<l \le \frac{n}{2}}\)
nierówność, symbol newtona
Rozpisałam to sobie, siedzę nad kartką i nie rozumiem.
\(\displaystyle{ k!(n-k)! > l!(n-l)!}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-k)!}{(n-l)!} > \frac{l!}{k!}}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ l! > k!}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)! > (n-l)!}\)
Ale nie pomaga mi to, aby zobaczyć, że lewa strona jest większa od prawej.
\(\displaystyle{ k!(n-k)! > l!(n-l)!}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-k)!}{(n-l)!} > \frac{l!}{k!}}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ l! > k!}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)! > (n-l)!}\)
Ale nie pomaga mi to, aby zobaczyć, że lewa strona jest większa od prawej.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
nierówność, symbol newtona
Ja prosiłem, żebyś poskracała, a nie zapisywała ułamki. Jako że \(\displaystyle{ l>k}\) z założenia, to
\(\displaystyle{ \frac{(n-k)!}{(n-l)!}= \prod_{i=1}^{l-k}n-l+i=(n-l+1)...(n-k)}\). Ponadto \(\displaystyle{ \frac{l!}{k!}= l(l-1)...k= \prod_{i=k+1}^{l}i}\). Teraz ponieważ \(\displaystyle{ k<l \le \frac{n}{2}}\), to prawdziwe są nierówności \(\displaystyle{ n-l+1 \ge k+1, n-l+2 \ge k+2}\) i tak dalej, aż do \(\displaystyle{ n-k \ge l}\) - wystarczy je przemnożyć stronami i dostajesz nierówność równoważną tezie.
\(\displaystyle{ \frac{(n-k)!}{(n-l)!}= \prod_{i=1}^{l-k}n-l+i=(n-l+1)...(n-k)}\). Ponadto \(\displaystyle{ \frac{l!}{k!}= l(l-1)...k= \prod_{i=k+1}^{l}i}\). Teraz ponieważ \(\displaystyle{ k<l \le \frac{n}{2}}\), to prawdziwe są nierówności \(\displaystyle{ n-l+1 \ge k+1, n-l+2 \ge k+2}\) i tak dalej, aż do \(\displaystyle{ n-k \ge l}\) - wystarczy je przemnożyć stronami i dostajesz nierówność równoważną tezie.