Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju

[arek1357]

Czy jest wzór jawny na liczby Stirlinga pierwszego rodzaju,
Bo na drugiego rodzaju jak wiadomo jest!
(Ktokolwiek słyszał lub widział niech pisze)

[p-adyczny Leo]

Wikipedia słyszała.
\(\displaystyle{ s(n,m) = \frac{(2n-m)!}{(m-1)!} \sum_{k=0}^{n-m} \frac{1}{(n+k)(n-m-k)!(n-m+k)!}\sum_{j=0}^k \frac{(-1)^j j^{n-m+k}}{j! (k-j)!}}\)

[arek1357]

Piękny wzór , choć na Wikipedii tego nie widziałem.

dowód:

Szkoda również że w książkach traktujących o matematyce dyskretnej ten wzór jest pomijany,
pomijany jest również w książkach wzór na liczby Stirlinga drugiego rodzaju itd...,
pomijany jest wzór na partycje liczby itd...

[AndrzejK]

Jest na angielskiej.

[p-adyczny Leo]

Możliwe, że patrzę do niewłaściwego artykułu, ale na angielskiej nie widzę. Jest za to na francuskiej, .

[arek1357]

No Francuzi pokazali klasę, ciekawe czy jest polska strona albo polska książka w której ten wzór jest!
Bo ani w dyskretnej ani w konkretnej tego niema i szkoda.
Ciekawa, jest również funkcja tworząca generująca ten wzór!!!