Permutacje, ustawianie ludzi w szeregu

edzia96 · Post autor: **edzia96** » 30 paź 2014, o 19:41

Na ile sposobów można ustawić szereg 8 osób tak, aby osoby A i B nie stały koło siebie.

Doszłam do wyniku \(\displaystyle{ 6! \cdot 6! \cdot 2...}\)
Zaś w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 30 240...}\) Jak do tego dojść?

musialmi · Post autor: **musialmi** » 30 paź 2014, o 20:15

Najpierw zobaczmy co można zrobić, gdy chcemy ustawić osobę A na pierwszym miejscu. Stawiamy ją tam. Osobę B możemy postawić na każdym oprócz drugiego i pierwszego (bo jest zajęte). Więc 6 miejsc do wyboru. Zostało nam jeszcze 6 osób. Każdą można postawić na jednym z 6 pozostałych miejsc.
Co jeśli chcemy postawić osobę A na ostatnim miejscu? DOKŁADNIE to samo.
A jeśli na jakimś w środku? Możemy wybrać je na 6 sposobów. Osoby B nie możemy postawić na osobie A, ani po jej lewej, ani po jej prawej, czyli możemy wybrać dla niej miejsce na tylko 5 sposobów. Zostało nam jeszcze 6 osób, a dla nich 6 miejsc.
Ilość sposobów: \(\displaystyle{ 1\cdot6\cdot6!+1\cdot6\cdot6!+6\cdot5\cdot6!=30240}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 30 paź 2014, o 20:54

Można też od wszystkich możliwości odjąć te gdzie A i B stoją obok siebie.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 4 lis 2014, o 21:50

Tak będzie o wiele prościej
wszystkie 8 osób możemy posadzić na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów
żeby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) siedzieli obok siebie to jest \(\displaystyle{ 7!\cdot 2}\) sposobów (traktujemy ich jak jeden nierozłączny element, permutujemy z 6 pozostałymi osobami i jeszcze na 2 sposoby w obrębie ich pary), wystarczy to odjąć
\(\displaystyle{ 8! - 2\cdot 7!}\)