Rozwiązanie równania rekurencyjnego

[matematyka464]

Cześć
Mamy sobie zapis:
\(\displaystyle{ a_n = Aa_{n-1} + Ba_{n-2}}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ x^n = a_n}\)
Z tego potem wyciągamy równanie kwadratowe i załóżmy sobie, że są dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\)
W takim razie:
Nasze \(\displaystyle{ \alpha^{n-1} = a_{n-1} \vee a_{n-1} = \beta^{n-1}}\)
W książce natomiast pisze:
że \(\displaystyle{ a_{n-1} = c\alpha^{n-1} + d\beta^{n-1}}\)
A ja nie wiem skąd się bierze, że n-1 wyraz wynosi wlaśnie tyle skoro wyżej pokazałem dwie wartości jakie może przyjmować. Sprawę kompilkuje mi fakt, że są stałe \(\displaystyle{ c,d}\) i nie wiem czy mogą być one dowolne czy nie.
pozdrawiam

[a4karo]

To jest równanie liniowe: jeżeli ciągi \(\displaystyle{ x_n}\) oraz \(\displaystyle{ y_n}\) je spełniają, to dla dowolnych \(\displaystyle{ c,d}\) ciąg \(\displaystyle{ z_n=cx_n+dy_n}\) też je spełnia (sprawdź!)

Żeby rozwiązać to równanie rekurencyjne potrzebujesz wartości dwch początkowych wyrazów. Na ich podstawie wyliczysz \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\).

[matematyka464]

To jest równanie liniowe: jeżeli ciągi x_n oraz y_n je spełniają, to dla dowolnych\(\displaystyle{ c,d}\) ciąg \(\displaystyle{ z_n=cx_n+dy_n}\) też je spełnia (sprawdź!)

Coś mi się z algebry zaczyna przypominać. Możesz mnie jeszcze bardziej 'nakierować'- ale nie chcę, żebyś mi podawał gotową odpowiedź.
W tym przypadku sobie sprawdziłem, ale chciałbym żebyś mi to pomógł wyciągnąć z algebry.
Jak to szło? Kombinacje, baza ...

[a4karo]

Tak, to jest to.
w przypadku tego równania azowymi rozwiazaniami sa \(\displaystyle{ x_n=\alpha^n}\) i \(\displaystyle{ y_n=\beta^n}\) (o ile \(\displaystyle{ \alpha\neq\beta}\). Rozwiazan szuka się więc w postaci \(\displaystyle{ c\alpha^n+d\beta^n}\), a warunki poczatkowe \(\displaystyle{ a_0=a, a_1=b}\) daja ukłąd równanń
\(\displaystyle{ c+d=a, c\alpha+d\beta=b}\), z którego wyliczany \(\displaystyle{ c,d}\).
Więcej informacji znajdziesz w dziale Kompendium.