Symbol Newtona

[ana1994]

Wykaż, że
\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)
Jakaś podpowiedź jak zacząć?

[a4karo]

Zależy od tego, jaka masz definicję symbolu Newtona?

[ana1994]

W zadaniu nie mam podanej żadnej definicji, to jest cała treść, właśnie dlatego nie wiem jak się za to zabrać.

[a4karo]

Jak nie masz definicji, to skąd wiesz co to jest? Bez definicji tego zadania nie da sie po prostu rozwiązać.

[ana1994]

Ok, przepraszam, jednak jest definicja, tylko jej nie zauważyłam wcześniej:
Symbol \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) definiujemy jako liczbę k–elementowych podzbiorów zbioru n–elementowego.
Tyle jest podane.

[a4karo]

Chyba najprościej będzie pokażać, że dla każdego \(\displaystyle{ n\geq 1}\) mamy \(\displaystyle{ \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1}\) i że \(\displaystyle{ \binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}}\). Te trzy własności jednoznacznie określają wyrażenie \(\displaystyle{ \binom{n}{k}}\)

Nastepnie pokaż, że \(\displaystyle{ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\) spełnia dokładnie te same warunki.