Żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednie

[bumbur]

Ile jest różnych permutacji zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, . . . , 2n \right\}}\) takich, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednie?

Wiem, że odpowiedź to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (n+1)! \cdot 2}\)

ale prosiłbym o wyjaśnienie jak do tego dojść.

[szw1710]

Ciąg musi zawierać liczby w kolejności parzysta, nieparzysta, parzysta itd. lub nieparzysta, parzysta, nieparzysta itd.

[bumbur]

Tak, tylko dochodzą jeszcze inne opcje, np. przy \(\displaystyle{ n=2}\), będzie jeszcze opcja parzysta,nieparzysta, nieparzysta, parzysta i właśnie nie wiem jak ilość takich możliwości policzyć.

[szw1710]

Tak, masz rację. Ale spróbuj sprawdzić, czy może tak być przy większych \(\displaystyle{ n}\).

[Qń]

Wiem, że odpowiedź to
\(\displaystyle{ (n+1)! \cdot 2}\)

To że jest to zła odpowiedź widać np. dla \(\displaystyle{ n=1}\).

Prawidłowa to \(\displaystyle{ n!\cdot (n+1)!}\). Najpierw wybieramy na \(\displaystyle{ n+1}\) sposobów miejsca w których mają stać liczby parzyste, potem na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów wstawiamy na te miejsca liczby parzyste, a na pozostałe miejsca na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów wstawiamy liczby nieparzyste.

Q.