różniczkowanie funkcji.

[matinf]

Pokaż, że:
\(\displaystyle{ {n \choose 1} + 2 { n \choose 2 } + ... +n {n \choose n } = n2^{n-1}}\)
Chcę to zrobić przy wykorzystaniu rozwinięcia \(\displaystyle{ (1+x)^n}\) We wskazówkach jest, żeby skorzystać z różniczki tej funkcji. Rzeczywiście wynosi ona \(\displaystyle{ n(1+x)^{n-1}}\).
Jeżeli za x przyjąć jeden, to mamy naszą prawą stronę, wiec coś jest na rzeczy. Nie wiem jednak, jak dalej to pociągnąć i skąd się wziął pomysł z różniczkowaniem tej funkcji.

[Premislav]

Ze wzoru dwumianowego Newtona mamy: \(\displaystyle{ (1+x)^{n}= \sum_{i=0}^{n}{n \choose i} x ^{i}}\). Różniczkując tę równość stronami, dostajemy \(\displaystyle{ n(1+x)^{n-1}= \sum_{i=1}^{n}{n \choose i}ix ^{i-1}}\). Kładąc \(\displaystyle{ x=1}\), dostajesz tezę.

[matinf]

wraca w takim razie pytanie:
Kiedy można równości różniczkować a kiedy nie? Wraca, bo kiedyś tu pytałem i mi pokazano przykład:
\(\displaystyle{ 2x = 5}\)- że nie można różniczkować wszystkiego.
Z góry dzięki za odpowiedź.

[Premislav]

Ale to jest zupełnie co innego! Masz tę samą funkcję zapisaną na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby, a pochodna tej funkcji musi być równa sobie samej (a więc ta równość musi zachodzić w każdym punkcie dziedziny). W Twoim "kontrprzykładzie" zaś masz równość, która zachodzi tylko dla niektórych \(\displaystyle{ x}\) (konkretnie tylko dla \(\displaystyle{ x= \frac{5}{2}}\)) i takich rzeczy nie można różniczkować stronami.

[matinf]

faktycznie, dzięki