Udownodnij, że nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n!} < \frac{1}{ 2^{n - 1} }}\) jest prawdziwa dla kazdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 2}\).
Nie bardzo wiem jak się za to zabrać, jakieś pomysły?
Dowód z Slinią
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dowód z Slinią
Próbowałeś indukcją ?
Poza tym zobacz, że \(\displaystyle{ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n > 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2 = 1 \cdot 2^{n-1}}\). Bo liczb od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ 2}\) jest \(\displaystyle{ n-1}\).
Można też uogólnić, że dla \(\displaystyle{ n > k + 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ n! > k^{n-k+1}\). Wstawiając \(\displaystyle{ k =2}\) mamy Twoją nierówność.
Poza tym zobacz, że \(\displaystyle{ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n > 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2 = 1 \cdot 2^{n-1}}\). Bo liczb od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ 2}\) jest \(\displaystyle{ n-1}\).
Można też uogólnić, że dla \(\displaystyle{ n > k + 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ n! > k^{n-k+1}\). Wstawiając \(\displaystyle{ k =2}\) mamy Twoją nierówność.