współczynnik dwumianowy

[tukanik]

Cześć
Mamy:
Ile razy otrzymamy \(\displaystyle{ x^k}\) po rozwinięciu \(\displaystyle{ (1+x)^k}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ {n \choose k}}\)
Nie chcę widzieć jakichś formalnych dowodów, a wyjaśnienie.
Z góry dzięki

[bartek118]

\(\displaystyle{ (1+x)^k = (1+x) \cdot (1+x)}\)

Aby otrzymać \(\displaystyle{ x^k}\) trzeba z nawiasów po prawej przy mnożeniu wybrać \(\displaystyle{ k}\) "iksów" oraz \(\displaystyle{ n-k}\) jedynek. Na dokładnie \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów możemy wybrać te \(\displaystyle{ k}\) nawiasów, z których weźmiemy "iksy".

[tukanik]

nie mogę zrozumieć, dlaczego liczba sposobów, na które możemy wybrać te nawiasy ma być odpowiedzią.

[bartek118]

Otrzymamy tyle \(\displaystyle{ x^k}\) ile jest możliwości zestawienia ze sobą \(\displaystyle{ k}\) "iksów" i \(\displaystyle{ n-k}\) jedynek

[tukanik]

a dlaczego właśnie tyle będzie x^k ile jest takich możliwości?
Przecież, jeżeli wymnożymy k nawiasów, to ten wymnożony nawias bedzie mieć taką postać:
\(\displaystyle{ (x^k + ax^{k-1} + ... + 1 )(x+1)...(x+1)}\)

[a4karo]

Wykonaj elementarne pracę. Wez kartkę papieru, pomóż dwa trzy cztery takie potęgi i zobacz skąd się biorą współczynniki. Bez tego nie zrozumiesz.