Rozłączne trójki

[mol_ksiazkowy]

Ile jest takich \(\displaystyle{ (X, Y, Z)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) takich że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}X \cap Y = \emptyset\\ X \cap Z = \emptyset\\ Z \cap Y = \emptyset \end{cases}}\)
?

Ukryta treść:    

Wykazać też, że układów \(\displaystyle{ (X, Y)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) ze \(\displaystyle{ X \cap Y = \emptyset}\) jest \(\displaystyle{ \frac{3^n+ 1}{2}}\)

[Zordon]

Jeśli te trójki są uporządkowane to jest ich tyle ile kolorowań elementów zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n\}}\) na 4 kolory, czyli \(\displaystyle{ 4^n}\). Jeśli są nieuporządkowane, to mniej więcej trzeba podzielić przez \(\displaystyle{ 6}\) i wziąć pod uwagę te układy, w których występuje zbiór pusty...