liczby naturalne

[agnieszka92]

Ilość n-cyfrowych liczb naturalnych, w któych cyfry występują w porządku niemalejącym jest równa
A. \(\displaystyle{ 2}\)
B. \(\displaystyle{ {n+8 \choose 8}}\)
C. \(\displaystyle{ {n \choose 9}}\)
D. \(\displaystyle{ {n \choose n-1}}\)

Wydaje mi się, że łatwiej jest policzyć, ile jest ogólnie liczb n-cyfrowych i od tej liczby odjąć ilość liczb n-cyfrowych, w któych cyfry występują w porzadku malejącym.
Zatem wszystkich liczb n-cyfrowych jest \(\displaystyle{ 10^{n-1} \cdot 9}\), natomiast tych w porządku malejącym... no i mam problem i nie wiem, jak to zapisać. Ma ktoś jakiś pomysł?

[pyzol]

W porządku malejącym możemy ustawić cyfry tylko na jeden sposób.
Więc \(\displaystyle{ \binom{10}{n},n \le 10}\)

-- 4 wrz 2014, o 19:31 --

Z tym, że wszystkie liczby obejmuje też takie,. które nie są w porządku ani rosnącym ani malejącym, więc to nie będzie dobra droga...-- 4 wrz 2014, o 19:44 --Idea jest taka. \(\displaystyle{ 0}\) nam odpada, bo nie może być na początku.
Mamy \(\displaystyle{ 9}\) cyfr. Każda z nich może wystąpić od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) razy.
Mamy do czynienia mniej więcej z takim równaniem.
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_9=n}\)
A dalej proszę poczytać o kombinacjach z powtórzeniami.

[a4karo]

Wydaje mi się, że łatwiej jest policzyć, ile jest ogólnie liczb n-cyfrowych i od tej liczby odjąć ilość liczb n-cyfrowych, w któych cyfry występują w porzadku malejącym.

Chyba nie, bo zostaną Ci rzeczy typu 153472-- 4 wrz 2014, o 20:34 --Jak masz zadania z wyborem, to weż sobie np n=2 i popatrz które rozwiązanie pasuje (n=1 tez może się przydać.

Nie polecam takiego rozumowania, ale ta technika może być przydatna, jeżeli ktoś chce sie uczyć (lub, co gorsza, sprawdzać wiedzę matematyczną) metodą testów.

[agnieszka92]

Metodą "podstawiania" otrzymałam, że odpowiedź B jest prawidłowa. I w sumie wydaje się taka najrozsądniejsza, bo A na pewno nie, C też nie, bo co jeśli n by było mniejsze niż 9, D też nie.. No ale jakoś nie potrafię wymyślić, skąd taka odpowiedź. ;>

[a4karo]

A...i teraz zaczyna sie matematyka

[agnieszka92]

No to pomóż... ;>

[a4karo]

Jakos na razie nie mam pomysłów (kombinatoryka to nie moja działka)

[pyzol]

Już napisałem o co chodzi, nie chce mi się tłumaczyć skąd i jak, bo temat dość powtarzalny.
Wpisz w przeglądarkę kombinacje z powtórzeniami z moim loginem, może więcej będzie napisane...-- 6 wrz 2014, o 10:38 --No dzisiaj jest czas to na spokojnie, generalnie mamy do czynienia z takimi liczbami \(\displaystyle{ (n=6)}\):
\(\displaystyle{ 114678\\
233579\\
155799}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ 0}\) nie może być w tych liczbach, bo nie otrzymalibyśmy liczby n-cyfrowej.
Pozostałe występują pewną ilość razy, a w sumie jest ich \(\displaystyle{ n}\).
W tych przykładach co napisałem mamy:
Pierwszy:
\(\displaystyle{ 1}\) wystąpiła dwa razy
\(\displaystyle{ 2}\) wystąpiła 0 razy
\(\displaystyle{ 3}\) wystąpiła 0 razy
\(\displaystyle{ 4}\) wystąpiła raz
...
Zauważ, że jak tak rozpisze, to nie możesz otrzymać innej liczby (musisz układać niemalejąco).
Jeśli teraz przez \(\displaystyle{ x_1}\) oznaczysz ilość jedynek, przez \(\displaystyle{ x_2}\) ilość dwójek,..., to możemy sobie zapisać to jako równanie:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_9=n}\)
Rozwiązań całkowitych nieujemnych takiego równanie jest: \(\displaystyle{ \binom{n+9-1}{9-1}}\).
Skąd to się bierze, to możesz przeczytać np. tutaj:
257724.htm#p972871
O ile jest zrozumiale napisane.