Prosta kongruencja- sprawdzenie

lightinside · Post autor: **lightinside** » 1 wrz 2014, o 13:27

$\displaystyle{ 7k+3\equiv 9\left( \mod 12\right)}$
$\displaystyle{ 7k\equiv 6\left( \mod 12\right)}$
$\displaystyle{ 14k\equiv 6\left( \mod 12\right)}$

i teraz :

$\displaystyle{ 2k \equiv 6\left( \mod 12\right)}$
$\displaystyle{ k \equiv 3\left( \mod 12\right)}$
czy?
$\displaystyle{ k \equiv 3\left( \mod \frac{12}{2} \right)}$ 2 bo $\displaystyle{ NWD(12,2)=2}$

Chyba to pierwsze jest niepoprawne mam rację?

Tak ogólnie to z tego ma wyjść podobno: $\displaystyle{ k\equiv9(\mod12)}$

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 1 wrz 2014, o 15:35

lightinside pisze:$\displaystyle{ 7k+3\equiv 9\left( \mod 12\right)}$
$\displaystyle{ 7k\equiv 6\left( \mod 12\right)}$
$\displaystyle{ 14k\equiv 6\left( \mod 12\right)}$

Błąd w trzeciej linijce. Powinno być $\displaystyle{ 14k\equiv 0\left( \mod 12\right)}$

kryg196 · Post autor: **kryg196** » 1 wrz 2014, o 16:04

to na pewno jest dobrze? a nie powinno być $\displaystyle{ 14k \equiv 12 (\mod 24)}$?
według mnie ostatecznie powinno być $\displaystyle{ 7k \equiv 6( \mod 12)}$ czyli $\displaystyle{ 7k \equiv 42 (\mod 12)}$ a co za tym idzie $\displaystyle{ k \equiv 6 (\mod 12)}$. Rozwiązaniem wtedy są liczby postaci $\displaystyle{ k=12s+6, s \in \mathbb{Z}}$.

lightinside · Post autor: **lightinside** » 1 wrz 2014, o 16:29

Jeszcze inaczej, miałam część zadania gdzie indziej i pomyliłam się odtwarzając je za co przepraszam.

$\displaystyle{ 3+7k \equiv 6\left( \mod 12\right)}$

zatem

$\displaystyle{ 7k \equiv 3\left( \mod 12\right)}$

I reszta jest poprawna.

wynik to:

$\displaystyle{ k \equiv 3 \left( \mod 6\right)}$
tak?

Bo podobno ma być tak:
$\displaystyle{ k\equiv 2\left( \mod 12\right)}$

Czy to jest inny zapis mojego wyniku? (Przepraszam jeśli głupotę powiedziałam, ale po prostu nie wiem, a klechdy studenckie głoszą że tak powinno wyjść)

kryg196 · Post autor: **kryg196** » 1 wrz 2014, o 16:43

$\displaystyle{ 3+7k \equiv 6(\mod 12)}$
$\displaystyle{ 7k \equiv 3(\mod 12)}$
$\displaystyle{ 7k \equiv 63\(\mod 12) /:7}$
$\displaystyle{ k \equiv 9(\mod 12)}$
Zatem $\displaystyle{ \exists s \in \mathbb{Z}: 12s=k-9 \Rightarrow k=12s+9}$.

Wydaje mi sie, że to jest ok.

lightinside · Post autor: **lightinside** » 1 wrz 2014, o 19:13

Tak, to co napisałeś jest logiczne i na pewno poprawne.

Czy mój sposób jest także poprawny?

kryg196 · Post autor: **kryg196** » 1 wrz 2014, o 20:21

Nie bardzo wiem o co chodzi, nie rozumiem tamtych zapisów, wydaje mi się, że są tam błędy.

1.Skąd takie przejście?
$\displaystyle{ 7k \equiv 3 ( \mod 12)}$ a później $\displaystyle{ k \equiv 3( \mod 6)}$.

2. To nie jest to samo.
$\displaystyle{ $7k\equiv 6( \mod 12)}$ a $\displaystyle{ 14k\equiv 6( \mod 12)}$.

3.

lightinside pisze:$\displaystyle{ 2k \equiv 6\left( \mod 12\right)}$
$\displaystyle{ k \equiv 3\left( \mod 12\right)}$

Powinno być:
$\displaystyle{ 2k \equiv 6( \mod 12) \Rightarrow k \equiv 3( \mod 6)}$. To pod modulem również dzielimy! Tym sposobem pamietam, że raz zawaliłem kolokwium Może ktoś się jeszcze odezwie tutaj i potwierdzi w 100% czy to jest poprawne.