Cześć!
Trzeba pokolorować wierzchołki i krawędzie - do dyspozycji farba niebieska i czerwona, przy czym mamy mieć trzy wierzchołki niebieskie oraz dwie krawędzie niebieskie. Obliczyć na ile sposobów można to zrobić, gdy utożsamiamy te, który można otrzymać poprzez izometrie własne graniastosłupa.
I najpierw: mamy dwanaście takich izometrii.
identyczność, dwa obroty względem osi przechodzącej przez podstawę, zamiana podstaw - tzn półobrót.
Dalej, trzy symetrie wysokości podstaw. I dalej złożenia:
każda z symetrii i zamiana podstawami oraz obroty i zamiana podstawami.
Niech \(\displaystyle{ w_i^k}\) oznacza, że dane przekształcenie ma \(\displaystyle{ k}\) cykli długości \(\displaystyle{ i}\).
Wówczas indeksy cyklowy wygląda następująco:
\(\displaystyle{ w_1^6k_1^9 + 2w_3^2k_3^3 +3w_2^3k_2^4k_1 + 3w_1^22_2^2k_2^3k_1^3 + 3w_2^3k_2^4k_1}\)
I jak to teraz dokończyć. Niby powinienem wziąć funkcję tworzącą dla dwóch kolorów (teoria Polyi), a potem odczytać współczynnik odpowiedni. Ale zamieszanie wprowadza, że mam jednocześnie i krawędzie i wierzchołki.