Witam. Potrzebuję pomocy z:
Przy użyciu funkcji tworzących wyznaczyć wzór jawny na n-ty wyraz ciągu.
\(\displaystyle{ a _{0}=2}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=3}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=5 _{an-1}+6 _{an-2}}\)
\(\displaystyle{ n \ge 2}\)
n-ty wyraz ciągu
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
n-ty wyraz ciągu
Równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^2 -5x - 6 =0}\)
Rozwiązanie to: \(\displaystyle{ x=-1}\), \(\displaystyle{ x=6}\).
Rozwiązaniem równania rekurencyjnego jest zatem ciąg postaci:
\(\displaystyle{ a_n = C_1(-1)^n + C_2 6^n}\).
Pozostaje więc wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\), które to wyznaczymy z łatwością w oparciu o wartości \(\displaystyle{ a_0}\) oraz \(\displaystyle{ a_1}\). Jeśli jakieś błędy to sorry, bo jestem pijany, lol
AAaaa dobra tom iało być z wykorzystaniem funkcji tworzących. To w takim razie wykorzystaj zależność, że skoro \(\displaystyle{ a_{n+2} = 5a_{n+1}+6a_n}\), to sumując takie równości od n=1 do nieskończoności dostaniesz jakiś szereg. Napisz jak on będzie wyglądał. Następnie rozłóż to co trzeba na ułamki proste i powinno wyjść to co chcesz.
\(\displaystyle{ x^2 -5x - 6 =0}\)
Rozwiązanie to: \(\displaystyle{ x=-1}\), \(\displaystyle{ x=6}\).
Rozwiązaniem równania rekurencyjnego jest zatem ciąg postaci:
\(\displaystyle{ a_n = C_1(-1)^n + C_2 6^n}\).
Pozostaje więc wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\), które to wyznaczymy z łatwością w oparciu o wartości \(\displaystyle{ a_0}\) oraz \(\displaystyle{ a_1}\). Jeśli jakieś błędy to sorry, bo jestem pijany, lol
AAaaa dobra tom iało być z wykorzystaniem funkcji tworzących. To w takim razie wykorzystaj zależność, że skoro \(\displaystyle{ a_{n+2} = 5a_{n+1}+6a_n}\), to sumując takie równości od n=1 do nieskończoności dostaniesz jakiś szereg. Napisz jak on będzie wyglądał. Następnie rozłóż to co trzeba na ułamki proste i powinno wyjść to co chcesz.
-
Rudd
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 26 sie 2014, o 16:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
n-ty wyraz ciągu
Wzorując się na tym co napisał Marcinek665:
\(\displaystyle{ a ^{n+2}=5a _{n+1}+6a _{n}}\)
Takim sposobem dostajemy:
\(\displaystyle{ a _{2}=5*3+6*2=27}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ a _{3}=5*27+6*3=153}\)
\(\displaystyle{ a ^{n+2}=5a _{n+1}+6a _{n}}\)
Takim sposobem dostajemy:
\(\displaystyle{ a _{2}=5*3+6*2=27}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ a _{3}=5*27+6*3=153}\)
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
n-ty wyraz ciągu
No dobra, to robi się to tak jakoś:
Określmy \(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\). Nie interesuje nas zbieżność tego szeregu. Wówczas domnażając równość \(\displaystyle{ a_{n+2} = 5a_{n+1} + 6a_{n}}\) przez \(\displaystyle{ x^{n+2}}\) oraz sumując od \(\displaystyle{ 0}\) do nieskończoności uzyskujemy równość:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2}x^{n+2} = \sum_{n=0}^{\infty} 5a_{n+1}x^{n+2} + \sum_{n=0}^{\infty} 6a_n x^{n+2}}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2}x^{n+2} = 5x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1}x^{n+1} + 6x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n}\)
\(\displaystyle{ S(x) - a_1x - a_0 = 5x(S(x)-a_0) + 6x^2 S(x)}\)
Podstawiamy warunki początkowe:
\(\displaystyle{ S(x) - 3x - 2 = 5x(S(x)-2) + 6x^2S(x)}\).
Wyliczamy stąd, że \(\displaystyle{ S(x) = \frac{2-7x}{1-5x-6x^2}}\). Teraz rozłóż to wyrażenie na ułamki proste, rozwiń w szereg i pamiętając, że \(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n}\) przyrównaj współczynniki.
Określmy \(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\). Nie interesuje nas zbieżność tego szeregu. Wówczas domnażając równość \(\displaystyle{ a_{n+2} = 5a_{n+1} + 6a_{n}}\) przez \(\displaystyle{ x^{n+2}}\) oraz sumując od \(\displaystyle{ 0}\) do nieskończoności uzyskujemy równość:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2}x^{n+2} = \sum_{n=0}^{\infty} 5a_{n+1}x^{n+2} + \sum_{n=0}^{\infty} 6a_n x^{n+2}}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2}x^{n+2} = 5x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1}x^{n+1} + 6x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n}\)
\(\displaystyle{ S(x) - a_1x - a_0 = 5x(S(x)-a_0) + 6x^2 S(x)}\)
Podstawiamy warunki początkowe:
\(\displaystyle{ S(x) - 3x - 2 = 5x(S(x)-2) + 6x^2S(x)}\).
Wyliczamy stąd, że \(\displaystyle{ S(x) = \frac{2-7x}{1-5x-6x^2}}\). Teraz rozłóż to wyrażenie na ułamki proste, rozwiń w szereg i pamiętając, że \(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n}\) przyrównaj współczynniki.