Witam,
Jak sobie wytłumaczyć takie pojęcie:
Grupa \(\displaystyle{ G}\) zawiera podgrupę izomorficzną z grupą \(\displaystyle{ S_5}\) ?
[Teoria grup] pojęcie grupy izomorficznej
[Teoria grup] pojęcie grupy izomorficznej
Dokładnie tak, jak jest napisane. Istnieje podgrupa \(\displaystyle{ H\subset G}\) taka, że \(\displaystyle{ H}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ S_5}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
[Teoria grup] pojęcie grupy izomorficznej
Ok, a co oznacza, że jest izomorficzna ? Każdy powie, że istnieje izomorfizm pomiędzy tą podgrupą, a \(\displaystyle{ S_5}\). Jednak czy mógłbym prosić o przykład ?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
[Teoria grup] pojęcie grupy izomorficznej
Weźmy grupę \(\displaystyle{ S^1}\) z działaniem mnożenia, tj \(\displaystyle{ e^{it}\cdot e^{is}:=e^{i(s+t)}}\). Wtedy podgrupa \(\displaystyle{ U_5}\) wszystkich pierwiastków pierwotnych stopnia piątego jest izomorficzna z podgrupą \(\displaystyle{ S_5}\) generowaną przez cykl \(\displaystyle{ \sigma=(1, 2, 3, 4, 5)}\). Izomorfizmem jest odwzorowanie \(\displaystyle{ S^1>U_5\ni e^{it}\mapsto \sigma^{\frac{5}{2}\pi t}\in \langle\sigma\rangle<S_5}\).