[Teoria grup] pojęcie grupy izomorficznej

[matinf]

Witam,

Jak sobie wytłumaczyć takie pojęcie:

Grupa \(\displaystyle{ G}\) zawiera podgrupę izomorficzną z grupą \(\displaystyle{ S_5}\) ?

[szw1710]

Dokładnie tak, jak jest napisane. Istnieje podgrupa \(\displaystyle{ H\subset G}\) taka, że \(\displaystyle{ H}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ S_5}\).

[matinf]

Ok, a co oznacza, że jest izomorficzna ? Każdy powie, że istnieje izomorfizm pomiędzy tą podgrupą, a \(\displaystyle{ S_5}\). Jednak czy mógłbym prosić o przykład ?

[yorgin]

Weźmy grupę \(\displaystyle{ S^1}\) z działaniem mnożenia, tj \(\displaystyle{ e^{it}\cdot e^{is}:=e^{i(s+t)}}\). Wtedy podgrupa \(\displaystyle{ U_5}\) wszystkich pierwiastków pierwotnych stopnia piątego jest izomorficzna z podgrupą \(\displaystyle{ S_5}\) generowaną przez cykl \(\displaystyle{ \sigma=(1, 2, 3, 4, 5)}\). Izomorfizmem jest odwzorowanie \(\displaystyle{ S^1>U_5\ni e^{it}\mapsto \sigma^{\frac{5}{2}\pi t}\in \langle\sigma\rangle<S_5}\).