Funkcja tworząca - wyznacz jawny wzór

[wiku94]

Dany jest ciąg rekurencyjny \(\displaystyle{ (a_{n})}\), w którym \(\displaystyle{ a_{0}=2}\), \(\displaystyle{ a_{1}=5}\) i\(\displaystyle{ a_{n}= 5a_{n-1} - 6a_{n-2} + 2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Za pomocą funkcji tworzącej wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu.

No i wychodzi mi \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2-x}{1-3x}}\) i co dalej?

[rafalpw]

Rozwiń teraz funkcję \(\displaystyle{ f}\) w szereg.

[wiku94]

No ok, a możesz naprowadzić mnie na jakiś wzór z którego mam tu skorzystać?

[rafalpw]

Wzór na sumę szeregu geometrycznego się przyda.

[maciek1211]

rafalpw, czyli jak to zrobić, bo gdyby u góry było \(\displaystyle{ 1-x}\) to luzik, no ale gdy jest \(\displaystyle{ 2-x}\)?

[Mariusz M]

Dany jest ciąg rekurencyjny \(\displaystyle{ (a_{n})}\), w którym \(\displaystyle{ a_{0}=2}\), \(\displaystyle{ a_{1}=5}\) i\(\displaystyle{ a_{n}= 5a_{n-1} - 6a_{n-2} + 2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Za pomocą funkcji tworzącej wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu.

No i wychodzi mi \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2-x}{1-3x}}\) i co dalej?

\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n} }= \sum_{n=2}^{ \infty }{5a_{n-1}x^{n}}- \sum_{n=2}^{ \infty }{6a_{n-2}x^{n}}+ \sum_{n=2}^{ \infty }{2x^{n}}\\
A\left( x\right)-2-5x=x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{5a_{n-1}x^{n-1}} \right) -x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{6a_{n-2}x^{n-2}} \right)+ \frac{2}{1-x}-2-2x\\
A\left( x\right)-2-5x=5x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)-6x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+ \frac{2}{1-x}-2-2x \\
A\left( x\right)-2-5x=5x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-2 \right)-6x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right) +\frac{2}{1-x}-2-2x \\
A\left( x\right)-2-5x=5xA\left( x\right)-10x-6x^2A\left( x\right) + \frac{2}{1-x}-2-2x\\
A\left( x\right)\left( 1-5x+6x^2\right)=-2-12x+2+5x+ \frac{2}{1-x} \\
A\left( x\right)\left( 1-5x+6x^2\right)=-7x+\frac{2}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{-7x}{\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right) }+ \frac{2}{\left( 1-x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right) } \\
\left( 1-2x\right)-\left( 1-3x\right)=1-2x-1+3x=x\\
-7\left( 1-2x\right)+7\left( 1-3x\right)=-7x\\
A\left( x\right)=\frac{-7}{1-3x}+\frac{7}{1-2x}+\frac{1}{1-x}-\frac{8}{1-2x}+\frac{9}{1-3x}\\
A\left( x\right)=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{2}{1-3x}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}- \sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}+2 \sum_{n=0}^{ \infty }{3^nx^n} \\
a_{n}=1-2^{n}+2 \cdot 3^{n}\\}\)