Dowód tw. Cayleya, niezrozumiałe fragmenty

[matinf]

Witam,


Chodzi o ten dowód. Rozumiem, że żeby pokazać izomorficzność, trzeba pokazać jakiś izomorfizm pomiędzy grupami, a więc jakąś bijekcję homomorficzną między grupami.

Dlaczego więc nie widzę w tym dowodzie, żeby ktoś wziął jakąkolwiek funkcję z \(\displaystyle{ G\rightarrow S_n}\) ?

[szw1710]

Nie chodzi o funkcję \(\displaystyle{ G\to S_n}\). Elementowi \(\displaystyle{ g\in G}\) przypisujemy funkcję \(\displaystyle{ \varphi_g:G\to G}\) daną wzorem \(\displaystyle{ \varphi_g(x)=gx}\). Pokazujemy, że \(\displaystyle{ \varphi_g}\) jest bijekcją, czyli \(\displaystyle{ \varphi_g\in S(G)}\). Ustanawiamy odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi:G\to S(G)}\) wzorem \(\displaystyle{ \Phi(g)=\varphi_g}\). Pokazujemy, że jest to monomorfizm grup \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ S(G)}\). A skoro obraz grupy przez homomorfizm jest podgrupą przeciwdziedziny, mamy koniec dowodu.

Inaczej można ustanowić izomorfizm biorąc automorfizmy wewnętrzne: \(\displaystyle{ \Psi_g:G\to S(G)}\) określamy wzorem \(\displaystyle{ \Psi(g)=\psi_g}\), gdzie \(\displaystyle{ \psi_g:G\to G}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ \psi_g(x)=gxg^{-1}}\) (notacja multyplikatywna). Rozumowanie identyczne do powyższego.

Spróbuj, nie patrząc na to, co w Wikipedii, samodzielnie przeprowadzić dowód dla automorfizmów wewnętrznych.

[matinf]

Moment. Trudne to dla mnie jest.
\(\displaystyle{ \varphi_g(x)=gx}\)
Co to oznacza ?

Co w końcu trzeba pokazać ?
Trzeba pokazać, że istnieje izomorfizm pomiędzy grupą \(\displaystyle{ G}\), a grupą permutacji, które pracują na elementach zbioru \(\displaystyle{ G}\) ?
Czym są elementy grupy \(\displaystyle{ G}\) ?

[szw1710]

Musisz zrozumieć podstawowe pojęcia występujące tutaj. Masz jakąś ustaloną grupę \(\displaystyle{ G}\). Działaniem będzie "mnożenie", więc \(\displaystyle{ gx}\) dla \(\displaystyle{ g,x\in G}\) chyba wiesz co oznacza. Powiedz na początek, czym jest grupa symetryczna, tj. \(\displaystyle{ S(G)}\)?