[Teoria grup] zliczanie grafów

[matinf]

Cześć!

Należy zliczyć ilość ruletek. Są do dyspozycji \(\displaystyle{ 3}\) kolory. Ruletka to jest takie kółko podzielone
na sześć równych części (coś jak pizza).

Zabieram się do tego z teorii grup, najpierw jakie rozważam izomorfizmy:

Identyczność + \(\displaystyle{ 5}\) obrotów:

\(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)(5)(6) \\
(123456)\\
(135)(246)\\
(14)(25)(36)\\
(153)(426)\\
(165432)\\}\)

I zliczam:

\(\displaystyle{ \frac16 (3^6 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^2 + 3) = 130}\)

Jednak prawidłową odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 373}\). Co jest grane ?

[Kartezjusz]

Myślałeś o ruletkach w których nie użyto jakiegoś koloru?

[matinf]

To nic nie da.

Mamy trzy możliwości wyboru dwóch kolorów.
\(\displaystyle{ 3 \cdot (\frac16(2^6+2+2^2+2^3+2^2 + 2)) = 42}\)

Plus trzy sytuacje, gdy mamy po jednym kolorze.

Czyli razem:

\(\displaystyle{ 130 + 42 + 3 = 175}\)

Gdzie jest błąd ?

[matmatmm]

Nie rozumiem twojej metody z obrotami. Mozesz dokladniej wyjasnić?

Poza tym zrobiłem to przez prymitywne wypisanie wszystkich możliwości i wyszło mi \(\displaystyle{ 130}\).

[matinf]

Oznaczyłem te kawałki do kolorowania cyframi od jeden do sześć.
W wyniku obrotu o jedne pole, jedynka przejdzie na dwójkę, dwójka na trójkę....
Co jest reprezentowane przez permutację :
\(\displaystyle{ (123456)}\)
Podobnie interpretuję obrót o dwa, trzy, ...., pięć "fragmentów".

[matmatmm]

Rozumiem, że wypisałeś wszystkie możliwe obroty (identyczność też jest obrotem), następnie podnosisz kolejno liczbę kolorów (\(\displaystyle{ 3}\)) do potęg odpowiadającym liczbie cykli rozłącznych danego obrotu i dzielisz sumę przez liczbę pól ruletki (\(\displaystyle{ 6}\)). Przyznam, że nie wiem dlaczego, ale daje to dobry wynik, co sprawdziłem dla mniejszej liczby kolorów i pól ruletki. Najbardziej prawdopodobne jest zatem, że interpretujemy treść zadania inaczej niż autor.

[matinf]

Metoda, którą działam jest na pewno ok, rozumiem ją. Trochę bym musiał opisać, żeby wytłumaczyć.

No trudno, muszę pozostać na tym co mam. Aczkolwiek nie rozumiem jak to możliwe, że wszyscy tutaj inaczej rozumiemy niż autor.