funkcja tworząca, ciąg dla niej.

[matinf]

Witam,

Mam taki splot:

\(\displaystyle{ (x + 2x^2 + 3x^3 +4x^4 + ... )^k}\)

Postać zwarta dla niej to:

\(\displaystyle{ \frac{x^k}{(1-x)^{2k}}}\)

Chcę teraz dla niej wyznaczyć ciąg, tzn współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ x^n}\) w rozwinięciu tej funkcji do szeregu.

Próbuję tak:
\(\displaystyle{ \frac{x^k}{(1-x)^{2k}} = x^k \sum_{n=0}^{\infty}{2k+n-2\choose n} x^n)}\)
Ale właśnie nie wiem co zrobić z tym \(\displaystyle{ x^k}\) przed nawiasem.

[Lider_M]

Włącz pod sumę, wtedy będziesz miał \(\displaystyle{ x^{n+k}}\).

[matinf]

No właśnie, a mi chodzi o to, żeby mieć \(\displaystyle{ x^n}\)

[Kaf]

Po prostu pierwsze \(\displaystyle{ k}\) wyrazów jest zerowych.

[Lider_M]

Sumuj po \(\displaystyle{ m=n+k}\).

[matinf]

Nie, nie rozumiem co proponujecie. Zwróćcie uwagę, że muszę dostać sumę startującą na zerze. Możecie pokazać dokładniej ?

[Kaf]

Proszę bardzo: niech
\(\displaystyle{ a_n=\begin{cases} 0 &\text{dla } n < k\\2k+n-2\choose n &\text{dla } n\ge k \end{cases}}\)
Wtedy powyższa funkcja przyjmuje postać \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}{a_n} x^n}\)

[matinf]

A tym sposobem:

Sumuj po m=n+k.

da sie ?

[Lider_M]

\(\displaystyle{ {k+(n+k)-2\choose (n+k)-k}x^{n+k}}\).