wykładnicze funkcje tworzące

[matinf]

Niech \(\displaystyle{ h_n}\) oznacza liczbę sposobów pokolorowania szczebli \(\displaystyle{ n}\)-szczeblowej drabiny na cztery kolory (czerwony, biały, niebieski i zielony) tak, że liczba szczebli czerwonych jest parzysta, a białych --- nieparzysta. Znajdź wykładniczą funkcję tworzącą ciągu\(\displaystyle{ h_n}\) i oblicz \(\displaystyle{ h_{2001}}\).


I dokładnie nie pojmuję chyba tych fcji tworzących wykładniczych. Aczkolwiek widzę, że najpierw trzeba zawsze wybrać najpierw szczeble do malowania, a dopiero potem je malować. W każdym bądź razie, niech pierwsze litery kolorów to ciągi:
\(\displaystyle{ c: (1,0,1,0,1,0,1,0,...) 1 + x^2 +x^4+...\
b: (1,1,0,1,0,1,0,1,...) 1 + x + x^3 +...\\
z: (1,1,1,1,1,1,...) 1 + x^2 + x^3 + x^4 +..\\
n: (1,1,1,1,1,1,....)1 + x^2 + x^3 + x^4 +...}\)
Jak widać napisałem także fcje tworzące dla każdego z ciągów. Ale one wcale nie są wykładnicze. O co chodzi ?

[Zordon]

To co podajesz to zwykłe funkcje tworzące. Poza tym \(\displaystyle{ b_0=0}\). Znajdź wykładnicze funkcje tworzące tych ciągów.
Czyli przykładowo wykładnicza funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ z_n}\), to f. tworząca ciągu \(\displaystyle{ z_n/n!}\) czyli \(\displaystyle{ Z(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}=e^x}\).
Ich iloczyn to w. funkcja tworząca dla \(\displaystyle{ h_n}\). To wynika z reguły mnożenia dla takich f. tworzących (inny rodzaj splotu).
\(\displaystyle{ h_{2001}}\) można uzyskać poprzez liczenie \(\displaystyle{ 2001}\) pochodnej tej funkcji w pkcie 0.

[matinf]

To co podajesz to zwykłe funkcje tworzące.

Tak, wiem zależało mi właśnie, żeby zobaczyć dlaczego taka zwykła funkcja tu nie pasuje - abstrahując już od tego co nakazuje treść.

ich iloczyn to w. funkcja tworząca dla \(\displaystyle{ h_n}\)

No właśnie, czyli splot. Definicja splotu jest taka:
\(\displaystyle{ sum_{k=0}^{n} {n\choose k}b_nc_{n-k}}\)
I widać, że nie jest to zwyczajny iloczyn szeregów, tak jak to było w przypadku zwykłych f. tworzących.
Pojawia się tutaj dwumian - nie wiem jak sobie to tłumaczyć.

A próbuję tak:
\(\displaystyle{ c: (1,0,1,0,1,0,1,0,...) 1 + \frac{x^2}{2!} + ... = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.\\
b: (1,1,0,1,0,1,0,1,...) 1 + x + \frac{x^3}{3!} +... = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\\
z: (1,1,1,1,1,1,...) e^x\\
n: (1,1,1,1,1,1,....)e^x}\)

Gdyby to były zwykłe fcje tworzące to bym od razu mnożył, tam jest widać, że to na prawdę daje to co trzeba - tzn iloczyn.

Tutaj jak sam nazwałeś jest to specjalny sposób, a więc pomnożę:
\(\displaystyle{ \frac{e^x + e^{-x}}{2} \frac{e^x - e^{-x}}{2}e^xe^x = \frac{e^{4x} - 1 }{4}}\)

No więc to co dostaliśmy to funkcję tworzącą ciągu, który reprezentuje to co trzeba, ale to jest postać zwarta!
Potrzeba teraz jakąś ją rozwinąć do postaci takiej, żeby móc odczytać współczynnik przy \(\displaystyle{ \frac{x^n}{n!}}\)

\(\displaystyle{ \frac{e^{4x} - 1 }{4} = \sum_{n=0}^{\infty} (4^{n-1}\frac{x^n}{n!}) - \frac14}\)[/latex]

I teraz mam właśnie problem. Bo zostaje mi ta jedna-czwarta. Współczynnik przy czym trzeba mam, to jest:
\(\displaystyle{ h_n = 4^{n-1}}\)
Ale to tylko współczynnik. Przeszkadza mi ta 1/4. Nie bardzo wiem co mam z nią zrobić.

Jako, że wiadomość jest długa, to podsumuję o co mi chodzi.
(1) Jak wyrugać tą jedną czwartą ? Wspominałeś o jakiejś pochodnej, ale ja poszedłem standardową drogą, która jak widać wyprowadziła mnie w pole.
(2) Funkcje tworzące zwykłe są dla mnie zrozumiałe lepiej. Tak więc szukam analogii, ale trochę się gubię momentami.
Obydwie funkcje tworzące to szeregi - w obydwu wzór na ciąg to współczynnik przy pewnym wyrażeniu. ALe mi chodzi o splot. Pokazałem definicję - dlaczego mnożąc funkcje tworzące (zwarte) nigdzie nie pojawia się ten dwumian ? Jak ma się definicja splotu w.f.t to tego co robię ?

[Zordon]

(1) Masz wft \(\displaystyle{ \frac{e^{4x}-1}{4}=\sum_{n=1}^\infty 4^{n-1}\frac{x^n}{n!}}\) co odpowiada ciągowi \(\displaystyle{ (0,1,4,16,...)}\). Chyba nietrudno odczytać teraz \(\displaystyle{ h_{2001}}\).
Ogólniej, jeśli \(\displaystyle{ H(x)}\) jest wft ciągu \(\displaystyle{ h_n}\), to \(\displaystyle{ h_n=H^{(n)}(0)}\). Gdzie \(\displaystyle{ (n)}\) oznacza n-tą pochodną.

(2) Nie rozumiem za bardzo pytania.
Mamy następujące przyporządkowanie. Dla ciagu liczbowego \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in \NN}}\) definiujemy szereg formalny \(\displaystyle{ F_a}\) wzorem \(\displaystyle{ F_a(x)=\sum_{n}\frac{a_n}{n!}x^n}\).
Twierdzenie jest teraz takie: jeśli mamy dwa ciągi \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) oraz \(\displaystyle{ c_n}\) będący ich splotem dwumiennym, tj. \(\displaystyle{ c_n=\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k {n \choose k}}\), to:
\(\displaystyle{ F_c(x)=F_a(x)\cdot F_b(x)}\).
Jest to oczywiście pewna analogia to podobnego twierdzenia dla zwykłych funkcji tworzących, ale oczywiście ich definicja jest inna, zatem też splot wygląda inaczej.

[matinf]

Napisałeś inne zwinięcie w szereg funkcji w postaci zwartej. A napisałeś inne tylko dlatego, że Twoja suma idzie od \(\displaystyle{ n=1}\). Gdy tak ustawiamy start, zgadzam się w pełni z Twoim obliczeniem.
I to jest dobry pomysł, ale w definicji zaczyna się od zera. Widzę teraz to tak:

Ręcznie ustawiasz i bierzesz odpowiedzialność za \(\displaystyle{ n = 0}\) - powiedziałeś rozpisując ciąg, że \(\displaystyle{ a_0=0}\)
Bo przecież nie uda mi się tej sumy puścić już od zera. Możesz się do tego odnieść ?

Chyba nietrudno odczytać teraz \(\displaystyle{ h_{2001}}\)

No jasne, widać, że (zaniedbując zero) \(\displaystyle{ h_n = 4^{n-1} \Rightarrow h_{2011} = 4^{2010}}\)

Ogólniej, jeśli \(\displaystyle{ H(x)}\) jest wft ciągu \(\displaystyle{ h_n,}\) to \(\displaystyle{ h_n=H^{(n)}(0)}\). Gdzie\(\displaystyle{ (n)}\) oznacza n-tą pochodną.

A to skąd ? Potrzebujemy "wyciągnąć" z postaci szeregu (rozwiniętej) współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n/n!}\). Z kolei pochodna tego rzędu w przypadku wielomianu zwraca współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\). Ale to w przypadku wielomianu..

[Zordon]

Jaka jest według Ciebie wft ciągu \(\displaystyle{ (0,1,4,16,...)}\) tzn. \(\displaystyle{ a_n=\lfloor 4^{n-1} \rfloor}\) jeśli już lubimy wzory...?

A co do wyciągania współczynników to się zastanów, czy to co piszesz o wielomianach jest słuszne. Łatwo sprawdzić, że mój wzór się zgadza, poprzez zwykłe przeliczenie.

[matinf]

No wg mnie ta funkcja to jest taka:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}4^{n-1}}\)

A co do wyciągania współczynników to się zastanów, czy to co piszesz o wielomianach jest słuszne

To faktycznie wyciąga współczynnik, ale nie jest tak, że n-ty (przy \(\displaystyle{ x^n}\)) współczynnik to \(\displaystyle{ W^{(n)}(0)}\)
To idzie od "końca";

[Zordon]

No wg mnie ta funkcja to jest taka:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}4^{n-1}}\)

Nie, Ty podałeś wft ciągu \(\displaystyle{ 4^{n-1}}\).

[matinf]

Nie, Ty podałeś wft ciągu \(\displaystyle{ 4^{n-1}}\).

No tak. A Ty chciałeś, żebym podał funkcję tworzącą dla ciągu : \(\displaystyle{ (0,1,4,16,...)}\)
Rozumiem, że chodzi Ci o to, że ja podałem funkcję dla \(\displaystyle{ (1/4, 1, 4, 16,....)}\)

Jak tak koniecznie chcesz to Ci podam

\(\displaystyle{ g_n = \begin{cases} 4^{n-1}\ \ \ n > 0 \\0 \ \ \ \ n = 0\end{cases}}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}h_nx^n}\)

O to chodziło ?