Zadańka z twierdzenia o istnieniu

[Maciek0196]

1.Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie liczbę niewymierną. Pokaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \left\{ \alpha n \right\}}\) \(\displaystyle{ < \varepsilon}\) (gdzie \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\)). Wyprowadź stąd wniosek, że w dowolnym przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) zawartym w \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\)znajduje się nieskończenie wiele liczb postaci \(\displaystyle{ \left\{ \alpha n\right\}}\).


2.Wykaż, że dla dowolnych trzech nieskończonych ciągów liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_{n}}\), \(\displaystyle{ b_{n}}\), \(\displaystyle{ c_{n}}\) można znaleźć dwa wskaźniki \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{m} \le a_{k}}\), \(\displaystyle{ b_{m} \le b_{k}}\) oraz \(\displaystyle{ c_{m} \le c_{k}}\).

Z góry dziękuje za pomoc

[Kartezjusz]

2.Czy ciągi są różnowartościowe

[Maciek0196]

Kartezjusz w treści zadana nic nie ma o różnowartościowości, dlatego może warto rozważyć przypadki?