Liczba szesnastkowa na binarną - dowód algorytmu

[Lukassz]

Witajcie jak przedstawić dowód poprawności algorytmu zamiany liczby szesnastkowej na liczbę binarną? Przyczyną istnienia takiego algorytmu jest równość
\(\displaystyle{ 16 = 2 ^{4}}\) ale jak to rozwinąć?

[Kartezjusz]

Zwijamy osobno liczby od 1 do 15. Umiesz algorytm binarnego mnożenia?
\(\displaystyle{ X= \sum_{i=0}^{n} 16^{n}a_{n} = \sum_{i=0}^{n} 2^{4n}a_{n}}\)
mnożymy binarnie.

[Lukassz]

Niestety nie umiem, a nie ma prostszego rozwiązania tego problemu?

[matmatmm]

Reprezentację \(\displaystyle{ (a_0,a_1,\ldots,a_{n})}\) liczby \(\displaystyle{ a}\) w systemie liczbowym o podstawie \(\displaystyle{ p}\) znajduje się następującym algorytmem:

\(\displaystyle{ a_0}\)- reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ p}\).
\(\displaystyle{ a_1}\)- reszta z dzielenia \(\displaystyle{ \frac{a-a_{0}}{p}}\) przez \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ a_2}\)- reszta z dzielenia \(\displaystyle{ \frac{a-a_0-pa_1}{p^2}}\) przez \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ a_3}\)- reszta z dzielenia \(\displaystyle{ \frac{a-a_0-pa_1-p^2a_2}{p^3}}\) przez \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)

Zastosuj go do liczby zapisanej w systemie dwójkowym.