Witam, mam problem z pewnym zadaniem z kombinatoryki. Na kilku różnych forach znalazłem różne odpowiedzi, a chciałbym na 100% wiedzieć jak to zrobić, mianowicie:
Na ile sposobów można n kul rozmieścić w n pude̷łkach tak, żeby dokładnie dwa
pude̷lka zostały puste? Za̷łóż, że n ≥ 3 oraz zarówno kule jak i pude̷lka są między
sobą rozróżnialne.
Próbowałem to zrobić w ten sposób: Najpierw wybieramy pudełka które mają być puste na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposoby. Zostaje nam (n-2) pudełek i n kul. Do każdego pudełka musimy włożyć przynajmniej jedną kulę i dodatkowo musimy rozmieścić jeszcze 2 kule, wybieramy je na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposoby i rozmieszczamy na (n-2)^2 . Ostatnia rzecz, to rozmieszczenie (n-2) kul w (n-2) pudelkach, gdzie korzystamy z wzoru na permutacje czyli (n-2)!. Wychodzi że kule można rozmieścić na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) (n-2)! \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) (n-2)^2 sposoby, czy to jest dobrze?
Na ile sposobów...
-
robertm19
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Na ile sposobów...
Dla n=3 nie zachodzi.
Myślę, że nie obejdzie się bez liczb Stirlinga, mój wynik:
\(\displaystyle{ \sum_{k=3}^n\frac{(k-2)^2(k-1)}{2} (n-2) {n \choose 2}}\).
Myślę, że nie obejdzie się bez liczb Stirlinga, mój wynik:
\(\displaystyle{ \sum_{k=3}^n\frac{(k-2)^2(k-1)}{2} (n-2) {n \choose 2}}\).