Udowodnić tożsamość
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
Udowodnić tożsamość
Witam,
Udowodnić tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = \sum_{k}\left\{ ^n_k\right\} x^k}\)
Widać, że to jest jakaś równość fcji tworzących.
Na początek wezmę do analizy tą lewą stronę:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = x^n \frac{1}{1-x} \frac{1}{1-2x} \frac{1}{1-3x} ....\frac{1}{1-nx}}\)
I teraz jakie to funkcje tworzące dały kolejne ułamki:
\(\displaystyle{ 1 + x + x^2 + x^3 + ... \\
1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + ...\\
.... \\
1 + nx + (nx)^2 + (nx)^2}\)
A więc mamy do czynienia z ciągami:
\(\displaystyle{ 1^n\\ 2^n \\ 3^n \\...\\ n^n}\)
Oraz jeszcze ten ciąg, którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ x^}\). Ale na niego wzór trudno jest podać.
I tak wygląda lewa strona, prawda to wszystkie możliwe podziało zbioru n-elementowego na bloki k-elementowe, gdzie \(\displaystyle{ k\in[0;n]}\)
Ale jak mogę to dalej kontynuować ? Po lewej stronie jest splot.
Udowodnić tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = \sum_{k}\left\{ ^n_k\right\} x^k}\)
Widać, że to jest jakaś równość fcji tworzących.
Na początek wezmę do analizy tą lewą stronę:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = x^n \frac{1}{1-x} \frac{1}{1-2x} \frac{1}{1-3x} ....\frac{1}{1-nx}}\)
I teraz jakie to funkcje tworzące dały kolejne ułamki:
\(\displaystyle{ 1 + x + x^2 + x^3 + ... \\
1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + ...\\
.... \\
1 + nx + (nx)^2 + (nx)^2}\)
A więc mamy do czynienia z ciągami:
\(\displaystyle{ 1^n\\ 2^n \\ 3^n \\...\\ n^n}\)
Oraz jeszcze ten ciąg, którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ x^}\). Ale na niego wzór trudno jest podać.
I tak wygląda lewa strona, prawda to wszystkie możliwe podziało zbioru n-elementowego na bloki k-elementowe, gdzie \(\displaystyle{ k\in[0;n]}\)
Ale jak mogę to dalej kontynuować ? Po lewej stronie jest splot.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Udowodnić tożsamość
Nie wygląda na prawdziwe.
Biorąc np. \(\displaystyle{ x\to 1^{-}}\), po lewej stronie wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\) a po prawej liczba.
Biorąc np. \(\displaystyle{ x\to 1^{-}}\), po lewej stronie wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\) a po prawej liczba.
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
Udowodnić tożsamość
Bo popełniłem pewien błąd:
Poprawiona wersja:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = \sum_{k}\left\{ ^k_n\right\} x^k}\)
Poprawiona wersja:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = \sum_{k}\left\{ ^k_n\right\} x^k}\)