Udowodnić tożsamość

[matinf]

Witam,

Udowodnić tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = \sum_{k}\left\{ ^n_k\right\} x^k}\)

Widać, że to jest jakaś równość fcji tworzących.

Na początek wezmę do analizy tą lewą stronę:

\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = x^n \frac{1}{1-x} \frac{1}{1-2x} \frac{1}{1-3x} ....\frac{1}{1-nx}}\)
I teraz jakie to funkcje tworzące dały kolejne ułamki:

\(\displaystyle{ 1 + x + x^2 + x^3 + ... \\
1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + ...\\
.... \\
1 + nx + (nx)^2 + (nx)^2}\)
A więc mamy do czynienia z ciągami:
\(\displaystyle{ 1^n\\ 2^n \\ 3^n \\...\\ n^n}\)
Oraz jeszcze ten ciąg, którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ x^}\). Ale na niego wzór trudno jest podać.

I tak wygląda lewa strona, prawda to wszystkie możliwe podziało zbioru n-elementowego na bloki k-elementowe, gdzie \(\displaystyle{ k\in[0;n]}\)

Ale jak mogę to dalej kontynuować ? Po lewej stronie jest splot.

[Hydra147]

Jaka jest górna granica sumowania po prawej stronie?

[matinf]

\(\displaystyle{ k\in [0;n]}\)

[Zordon]

Nie wygląda na prawdziwe.
Biorąc np. \(\displaystyle{ x\to 1^{-}}\), po lewej stronie wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\) a po prawej liczba.

[Hydra147]

Podejrzewam, że trzeba przyjąć że \(\displaystyle{ x}\) nie jest odwrotnością liczby naturalnej.

[Zordon]

Przecież pokazałem wyżej, że to nie pomoże.

[Hydra147]

Faktycznie, źle przeczytałem .

[matinf]

Bo popełniłem pewien błąd:

Poprawiona wersja:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)....(1-nx)} = \sum_{k}\left\{ ^k_n\right\} x^k}\)

[Zordon]

Można to np. udowodnić przez indukcję względem \(\displaystyle{ n}\), korzystając ze wzoru rekurencyjnego na LS II rodzaju.

[matinf]

Dzięki.