Na ile sposobów można posadzić n osób dookoła okrągłego stoł

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Paula84
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 lip 2014, o 22:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnobrzeg

Na ile sposobów można posadzić n osób dookoła okrągłego stoł

Post autor: Paula84 »

Zadanie z którym mam problem brzmi:
Na ile sposobów można posadzić n osób dookoła okrągłego stołu? Dwa rozmieszczenia, w których każdy ma tych samych sąsiadów uważamy za jednakowe.

Wiem, że odpowiedź powinna być (n-1)!. Doskonale rozumiem, że w ustawianiu n osób w szeregu byłoby n!, a tutaj z tego powodu, że stół nie ma ponumerowanych miejsc, pierwsza osoba permutuje na 1 sposób, dlatego jest to dzielenie przez n. Ale moim zdaniem powinno się jeszcze dzielić przez 2, ponieważ sytuacja kiedy Alina ma po lewej ręce Basię, a po prawej Celinę, jest taka sama jak wtedy gdy Alina ma po lewej ręce Celinę, a po prawej Basię.

Żeby było prościej rozważmy to zadanie dla n=4. Zdaniem podręczników i internetu w odpowiedzi powinno być 3!=6. A ja widzę tylko 3 możliwe rozmieszczenia (wyobraźmy sobie, że to jest stół, a A, B, C, D to osoby):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}A&B\\D&C\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}A&C\\D&B\end{bmatrix}}\)

I tutaj prośba: dopiszcie trzy pozostałe, bo ja już zgłupiałam i nie widzę ich...
Z góry dziękuję!
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Na ile sposobów można posadzić n osób dookoła okrągłego stoł

Post autor: robertm19 »

Wydaje mi się, że masz rację. Symetryczne odbicia będą spełniać definicję identycznego rozmieszczenia.
W takim odbiciu każdy zachowa sąsiada.
Paula84
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 lip 2014, o 22:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnobrzeg

Na ile sposobów można posadzić n osób dookoła okrągłego stoł

Post autor: Paula84 »

Dzięki Robert za opinię!

Problem jednak w tym, że ja nie mogę mieć racji - zadanie pochodzi z książki Margarety Wiciak "Elementy probabilistyki w zadaniach" Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych; Politechnika Krakowska. Odpowiedź brzmi (n-1)!. Dodatkowo w Internecie jest mnóstwo tego typu zadań (również na tym forum) i za każdym razem odpowiedź jest taka sama: (n-1)!. Wszędzie byłby błąd?

Rozumiem, że jeśli nie byłoby zdania "Dwa rozmieszczenia, w których każdy ma tych samych sąsiadów uważamy za jednakowe.", to odpowiedź byłaby (n-1)!, ale jak takie zdanie jest to czy nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{(n-1)!}{2}}\)?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Na ile sposobów można posadzić n osób dookoła okrągłego stoł

Post autor: piasek101 »

Doprecyzowanie - ,,tych samych sąsiadów" po lewej i prawej (zatem jeśli po prawej jest B to nie to samo co po lewej.
ODPOWIEDZ