Zadanie 1a. Znajdź funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ \left\langle H_n\right\rangle}\).
Ja to robię tak: \(\displaystyle{ H_n=H_{n-1}+\frac{1-\left[ n=0\right] }{n+\left[ n=0\right] }+\left[ n=1\right] \\H\left( x\right) =xH\left( x\right) +1+\sum_{n=1} x^n \frac 1n}\)
No i w tym momencie pojęcia nie mam zielonego, jak dalej ruszyć.
Tym bardziej, że tak naprawdę moja próba rozwiązania problemu nie uprościła, a jedynie jeszcze bardziej skomplikowała: wcześniej trzeba było rozwiązać \(\displaystyle{ \sum_n\frac 1n}\), a teraz mamy do rozwiązania \(\displaystyle{ \sum_n x^n\frac1n}\)!
Przyjrzyj się obserwacji 7.1 oraz 7.3 z Znajdziesz na niej ogólny schemat postępowania w przypadku poszukiwania funkcji tworzących ciągów \(\displaystyle{ u_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k}\), gdy znana jest funkcja tworząca dla \(\displaystyle{ a_n}\).
Wiem, że gdyby znaleźć funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac 1n}\), to funkcja tworząca liczb harmonicznych byłaby właściwie za darmo.
Ale w tym jest właśnie problem, że takiej nie potrafię znaleźć.
Teoretycznie można zacząć od wzoru rekurencyjnego - \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}-\frac 1 {n\left(n-1\right)}=a_{n-1}-\left(n-1\right)^{\underline{-2}}}\)
I jak to posumować?? Gdyby ta dolna silnia była dodatnia, pewnie mógłbym to załatwić sumowaniem przez części.
Niestety, wykładnik jest ujemny... więc nie wiem, jak to ugryźć.
