Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kmph
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Post autor: kmph »

przykład pisze:(...) Mamy zatem \(\displaystyle{ D_{n+1}=n\left(D_n+D_{n-1}\right)\quad\text{dla}\quad{n\ge0}\text{,}\quad{D_0=1}}\), skąd \(\displaystyle{ D^{\prime}\left(x\right)=xD^{\prime}\left(x\right)+xD\left(x\right)\text{,}\quad{D\left(0\right)=1}\text{,}\quad\text{gdzie}\quad{D\left(x\right)=\sum_n\frac{D_nx^n}{n!}}}\). Całkując równanie \(\displaystyle{ \frac{D^{\prime}}D=\frac{x}{1-x}}\), dostajemy \(\displaystyle{ \ln{D}=\ln\frac1{1-x}-x+c}\), skąd \(\displaystyle{ D\left(x\right)=\frac{e^{-x}}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}n!\left(\sum^n_{k=0}\frac{\left(-1\right)^k}{k!}\right)\frac{x^n}{n!}}\).
No to moje pytanie - co się stało ze stałą \(\displaystyle{ c}\) we wzorze na wykładniczą funkcję tworzącą? Dlaczego wynikiem jest jedna funkcja \(\displaystyle{ \frac{e^{-x}}{1-x}}\), a nie klasa funkcji postaci \(\displaystyle{ \frac{e^{-x+c}}{1-x}}\)? Przecież całkowanie nie jest jednoznaczne! Dlaczego stała \(\displaystyle{ c}\) była obecna we wzorze na logarytm funkcji, ale zniknęła po usunięciu logarytmu?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Post autor: yorgin »

Wszystko sprowadza się do tego, że wykorzystano \(\displaystyle{ D(0)=1}\).
kmph
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Post autor: kmph »

No to i tak guzik i pętelka. Powinno wyjść, że \(\displaystyle{ c=0}\), ale przecież...

\(\displaystyle{ D\left(0\right)=1\Rightarrow{e^c=1}\Rightarrow{c=\ln1}\Rightarrow{D\left(x\right)=\frac{e^{-x+\ln1}}{1-x}=\frac{e^{-x}+1}{1-x}}\)

Nie rozumiem?
Kryftof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 29 wrz 2010, o 21:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Post autor: Kryftof »

\(\displaystyle{ \ln 1=0}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Post autor: yorgin »

Oraz:

\(\displaystyle{ e^{x+y}\neq e^x +e^y}\)
kmph
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?

Post autor: kmph »

Oczywiście. Bez komentarza z mojej strony...

Naturalnie \(\displaystyle{ e^{x+y}=e^x\cdot e^y}\), co w tym przypadku odpowiada mnożeniu przez \(\displaystyle{ 1}\).

Przepraszam. Ale każdy może mieć zły dzień.
ODPOWIEDZ