No to moje pytanie - co się stało ze stałą \(\displaystyle{ c}\) we wzorze na wykładniczą funkcję tworzącą? Dlaczego wynikiem jest jedna funkcja \(\displaystyle{ \frac{e^{-x}}{1-x}}\), a nie klasa funkcji postaci \(\displaystyle{ \frac{e^{-x+c}}{1-x}}\)? Przecież całkowanie nie jest jednoznaczne! Dlaczego stała \(\displaystyle{ c}\) była obecna we wzorze na logarytm funkcji, ale zniknęła po usunięciu logarytmu?przykład pisze:(...) Mamy zatem \(\displaystyle{ D_{n+1}=n\left(D_n+D_{n-1}\right)\quad\text{dla}\quad{n\ge0}\text{,}\quad{D_0=1}}\), skąd \(\displaystyle{ D^{\prime}\left(x\right)=xD^{\prime}\left(x\right)+xD\left(x\right)\text{,}\quad{D\left(0\right)=1}\text{,}\quad\text{gdzie}\quad{D\left(x\right)=\sum_n\frac{D_nx^n}{n!}}}\). Całkując równanie \(\displaystyle{ \frac{D^{\prime}}D=\frac{x}{1-x}}\), dostajemy \(\displaystyle{ \ln{D}=\ln\frac1{1-x}-x+c}\), skąd \(\displaystyle{ D\left(x\right)=\frac{e^{-x}}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}n!\left(\sum^n_{k=0}\frac{\left(-1\right)^k}{k!}\right)\frac{x^n}{n!}}\).
Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 7 razy
Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 7 razy
Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?
No to i tak guzik i pętelka. Powinno wyjść, że \(\displaystyle{ c=0}\), ale przecież...
\(\displaystyle{ D\left(0\right)=1\Rightarrow{e^c=1}\Rightarrow{c=\ln1}\Rightarrow{D\left(x\right)=\frac{e^{-x+\ln1}}{1-x}=\frac{e^{-x}+1}{1-x}}\)
Nie rozumiem?
\(\displaystyle{ D\left(0\right)=1\Rightarrow{e^c=1}\Rightarrow{c=\ln1}\Rightarrow{D\left(x\right)=\frac{e^{-x+\ln1}}{1-x}=\frac{e^{-x}+1}{1-x}}\)
Nie rozumiem?
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 7 razy
Dlaczego stała po całkowaniu znika w funkcji tworzącej?
Oczywiście. Bez komentarza z mojej strony...
Naturalnie \(\displaystyle{ e^{x+y}=e^x\cdot e^y}\), co w tym przypadku odpowiada mnożeniu przez \(\displaystyle{ 1}\).
Przepraszam. Ale każdy może mieć zły dzień.
Naturalnie \(\displaystyle{ e^{x+y}=e^x\cdot e^y}\), co w tym przypadku odpowiada mnożeniu przez \(\displaystyle{ 1}\).
Przepraszam. Ale każdy może mieć zły dzień.