Ile jest liczb 7-cyfrowych, których suma cyfr jest parzysta

[peku33]

Witajcie.

Zadanie jak w tytule.
Proszę mi powiedzieć, czy dobrze myślę.

Rozbijam liczbę siedmiocyfrową na \(\displaystyle{ 1 + 6}\).
Wszystkich 6cyfrowych z dozwolonym \(\displaystyle{ 0}\) na początku będzie \(\displaystyle{ 10^6}\).
Uznaję, że parzystość i jej brak jest "symetryczne", więc dokładnie połowa z nich będzie miała sumę parzystą, a połowa nie. Czyli liczba 6cyfrowych o sumie parzystej = sumie nieparzystej \(\displaystyle{ = \frac12 \cdot 10^6}\)

Teraz przyjmuję takie warunki dla pierwszej cyfry:
a) parzysta, wtedy suma całości parzysta, gdy 6cyfrowa parzysta.
b) nieparzysta, suma całości parzysta, gdy 6cyfrowa nieparzysta

Jest więc to \(\displaystyle{ 9 \cdot \frac12 \cdot 10^6}\).

Czy ten wynik jest poprawny?

[Michalinho]

Tak, to jest dobry wynik.

Uznaję, że parzystość i jej brak jest "symetryczne", więc dokładnie połowa z nich będzie miała sumę parzystą, a połowa nie.

Tutaj by się można przyczepić, bo to nie jest formalne wnioskowanie.

Można to zrobić w ten sposób:
Rozdziel sobie liczbę 7-cyfrową na liczbę złożoną z pierwszych 6 cyfr i cyfrę jedności. Tą 6-cyfrową może być dowolna z liczb całkowitych od 100000 do 999999, czyli \(\displaystyle{ 10^{6}-10^{5}}\) liczb.
Niech \(\displaystyle{ S}\), będzie sumą tych pierwszych 6 cyfr. Suma ta może być parzysta lub nie. Do parzystości tej sumy dobieramy cyfrę jedności \(\displaystyle{ x}\) tak, aby \(\displaystyle{ 2\mid S+x}\). Możemy to zrobić na 5 sposobów, bo jest 5 cyfr o jednej parzystości, więc z prawa mnożenia istnieje \(\displaystyle{ 5 \cdot \left(10^{6}-10^{5}\right)=5\cdot 10^{5}\cdot 9=45\cdot 10^{5}}\) takich liczb.