Funkcje tworzace

[buzzek90]

Witam
\(\displaystyle{ a_0=1 \\
a_1=2 \\
a_n=a_n_-_1+a_n_-_2}\)
Wyliczylem sobiefunkcje tworzaca , ze \(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{1-2x-x^2}}\)

Moglby mi ktos wytlumaczyc jak rowinac to w szereg potegowy?
Oraz ogolnie postac zwarta?

[musialmi]

Moglby mi ktos wytlumaczyc jak rowinac to w szereg potegowy?

Z chęcią! Zwiń mianownik do postaci kanonicznej.

[Qń]

Po pierwsze funkcja tworząca jest źle wyznaczona.
Po drugie jak już ją dobrze wyznaczysz, to wykorzystaj nie postać kanoniczną, tylko rozkład na ułamki proste.
Po trzecie - akurat w tym wypadku widać gołym okiem, że nasz ciąg to przesunięty ciąg Fibonacciego: \(\displaystyle{ a_n=F_{n+2}}\).

Q.

[buzzek90]

czy moglbys napisac co jest zle w funkcji tworzacej ?

[Qń]

Nie wiem gdzie zrobiłeś błąd, bo nie wiem jak liczyłeś. Może pokażesz swoje rachunki?

Q.

[musialmi]

Mnie natomiast interesuje jak wyznaczyłeś funkcję tworzącą bez tworzenia szeregu.

[buzzek90]

\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } F_{n} x_{n} \\
\\
\\
F(x)=1+2x+\sum_{n=0}^{ \infty }(F_n_-_2+F_n_1)x^n=\\
1+2x+\sum_{n=2}^{ \infty }F_n_-_1x^n + \sum_{n=2}^{ \infty }F_n_-_2x^n=\\
1+2x+\sum_{n=1}^{ \infty }F_nx^n^+^1 + \sum_{n=0}^{ \infty }F_nx^n^+^2=\\
1+2x+x\sum_{n=1}^{ \infty }F_nx^n + x^2\sum_{n=0}^{ \infty }F_nx^n=\\
1+2x+x \cdot (F(x)-2)+x^2 \cdot F(x)=\\
1+2x+xF(x)-x+x^2F(x) = 1+2xF(x)+x^2F(x)}\)

[Qń]

Przyjrzyj się uważnie ostatniej równości.

Q.

[buzzek90]

hm...no nie widze ;(-- 24 cze 2014, o 23:24 --jak powinna wygladac prawidlowa ? wtedy zapewnie zauwaze co jest zle

[Qń]

No przecież stwierdziłeś w niej, że:
\(\displaystyle{ 2x+xF(x)-x = 2xF(x)}\)
To błąd na poziomie elementarnych przekształceń algebraicznych.

Q.

[buzzek90]

\(\displaystyle{ F(x)=\frac{x}{1-2x-x^2}}\) ??

[Qń]

Nie.

W jaki sposób właściwie Ty to liczysz?

Q.

[buzzek90]

jak tu moze wyjsc inaczej skoro jest to ciag fibonacciego tylko z innymi wyrazami ? Zrodlo, ktore uzywam do liczenia to ksiazka Patashnika Matematyka konkretna i internet, takze nie mam wytlumaczone krok po kroku co robic:( Prosze o pokazanie jak naprawic blad,jesli to mozliwe.

[Qń]

Wystarczy że prawidłowo policzysz ile to jest:
\(\displaystyle{ 2x+xF(x)-x}\)
lub też wyjaśnisz na czym polega Twój problem z wykonaniem tego rachunku na poziomie gimnazjum.

Q.

[buzzek90]

hm...no moze tak:
\(\displaystyle{ 1+2x+xF(x)-x+x^2F(x)\\
1+x+xF(x)+x^2F(x)\\
1+x+F(x)(x^2+x)\\
F(x)(x^2+x)=1+x\\
F(x)(1-x-x^2)=1+x\\
\frac{1+x}{1-x-x^2}}\)