Funkcje tworzace

[Qń]

No, trochę lepiej i wynik ok, ale coś tam pogubiłeś po drodze. Powinno być:
\(\displaystyle{ F(x)= 1+x+xF(x)+x^2F(x)}\)
i stąd właśnie:
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1+x}{1-x-x^2}}\).

Teraz ten ułamek należy rozłożyć na ułamki proste, co w tym wypadku będzie mocno uciążliwe, bo mianownik ma pierwiastki niewymierne. Ale jak już się rozłoży, to ułamki proste łatwo rozwija się w szereg.

Q.

[buzzek90]

\(\displaystyle{ 1-x-x^2=(1-ax)(1-bx)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)
suma ulamkow prostych: \(\displaystyle{ \frac{1+x}{(1-ax)(1-bx)}=\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}=\frac{(A+B)-(Ab+Ba)x}{(1-ax)(1-bx)}}\)

Czy w dobrym kierunku ide ?

[Qń]

Tak, na razie wszystko się zgadza. Teraz wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), a potem rozwinąć ułamki w szereg.

Q.

[buzzek90]

Stad:
\(\displaystyle{ a_0=1\\
a_1=2\\
\begin{cases} A+B=1 \\ Ab+Ba=2 \end{cases} \\
Czyli\\
A= \frac{a}{a-b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\
B= -\frac{-b}{a-b}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\
Wiec\\
F(x)=\frac{a}{a-b} \cdot \frac{1}{1-ax} - \frac{-b}{a-b} \cdot \frac{1}{1-bx}=\\
\frac{a}{a-b} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }(ax)^n-\frac{-b}{a-b} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }(bx)^n=\\
\sum_{n=0}^{ \infty }(\frac{a}{a-b}a^n-\frac{-b}{a-b}b^n)x^n\\

a_n=\frac{a}{a-b}a^n-\frac{-b}{a-b}b^n=\\
(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cdot(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)=\\
(\frac{(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})^n}{2^n^+^1}=\\
(\frac{(1+\sqrt{5})^n^+^1-(1-\sqrt{5})^n^+^1}{2^n^+^1}=\\
(\frac{(1+\sqrt{5})}{2})^n^+^1-(\frac{(1-\sqrt{5})}{2})^n^+^1}\)

Wyczytalem u Patashnika o przesunieciu funkcji tworzacej,
\(\displaystyle{ \sum_{n>=m}^{}g_n \cdot z^n^-^m = \sum_{n>=0}^{}g_n_+_m \cdot z^n}\)
wiec wyglada jakby sie zgadzalo, jednak nie jestem pewien wspolczynnikow A i B teraz, mam je obliczyc przez lustrzany wielomian? wtedy byloby tak ? :
\(\displaystyle{ Q(x)=1-x-x^2\\
Q^R(x)=x^2-x-1\\
po \ podstawieniu \ we \ wzorze\\ \frac{(-b+-\sqrt{b^2-4ac})}{2}\\ otrzymujemy:\\
\phi=\frac{(1+\sqrt{5})}{2} \ i \ \Phi=\frac{(1+\sqrt{5})}{2}\\
Tak \ wiec \ Q^R(x)=(x-\phi)(x-\Phi)\\
Q(z)=(1-\phi x)(1-\Phi x)\\
czyli\\
\frac{\phi}{\phi +2}= \frac{1}{\sqrt{5}}\\
\frac{\Phi}{\Phi +2}= \frac{-1}{\sqrt{5}}\\
F_n=\frac{(\phi^n - \Phi^n)}{\sqrt{5}}\\
a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{(1+\sqrt{5})}{2})^n^+^1-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{(1-\sqrt{5})}{2})^n^+^1}\)

Teraz tylko czekam na potwierdzenie