Wzór na rozłożenie permutacji n elementowej na 2 cykle.

[valverde12345]

Witam interesuje mnie sytuacja rozkładu permutacji n-el. w 2 cyklach.

Tak ropisałem tą sytuację(Proszę mnie poprawić jeśli, gdzieś popełniłem błąd)
Cykle (ilość el. w cyklach)..... ilość możliwych kombinacji w tych cyklach
\(\displaystyle{ 1 \wedge n-1}\).............................\(\displaystyle{ \left( 1-1\right)!(n-2)!}\)
\(\displaystyle{ 2 \wedge n-2}\).............................\(\displaystyle{ \left( 2-1\right)!(n-3)!}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ n-2 \wedge 2}\).............................\(\displaystyle{ \left( n-3\right)!(2-1)!}\)
\(\displaystyle{ n-1 \wedge 1}\).............................\(\displaystyle{ \left( n-2\right)!(1-1)!}\)

I teraz wzór(nie chodzi mi o rozpisywanie go do zwartej formy tylko o zrozumienie):
\(\displaystyle{ s_{1}\left( n,2\right)= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} {n \choose k} \left( k-1\right)!\left( n-k-1\right)!}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) - Jest dlatego bo cykle 1el. i n-1 el. oraz n-1 el. i 1 el. to to samo.
\(\displaystyle{ \left( k-1\right)!}\) - To ilość możliwych permutacji zbioru k el.
\(\displaystyle{ \left( n-k-1\right)!}\) - To ilość permutacji 2 cyklu
Ale dlaczego przed nimi stoi jeszcze \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) Czy zsumowanie możliwych permutacji tych 2 cykli nie powinno wystarczyć?

[kropka+]

Czym innym jest liczba możliwych kombinacji w cyklach a czym innym liczba możliwych wyborów \(\displaystyle{ k}\) liczb spośród \(\displaystyle{ n}\) do cyklu \(\displaystyle{ k}\) -elementowego.