Mam następującą funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{1-2x^2}}\)
Muszę wyrazić ją w formie \(\displaystyle{ [x^n]f(x)}\).
Proszę o wskazówki jak się za to zabrać. Próbowałem rozłożyć mianownik na dwa nawiasy: \(\displaystyle{ \frac{x}{(1- \sqrt{2}x)(1+\sqrt{2}x)}}\), a potem rozbić całość na dwa ułamki, ale nie wyszło z tego nic konkretnego.-- 23 cze 2014, o 21:24 --Dziękuję za pomoc, oto rozwiązanie
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{1-2x^2} = x\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty (2x^2)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty 2^nx^{2n+1}}\)
\(\displaystyle{ [x^k] f(x) = \begin{cases} 0 &\text{: k - parzyste}& 2^n &\text{: k = 2n+1} \end{cases} = \begin{cases} 0 &\text{: k - parzyste}& 2^{\frac{k-1}{2} &\text{: k - nieparzyste} \end{cases}}\)