Podać liczbę rozwiązań równania

[Zephi]

Podać liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ r_{1} + r_{2} + r_{3}=100}\) gdzie \(\displaystyle{ r_{1} , r_{2} , r_{3}}\) są parzystymi liczbami nieujemnymi. Rozwiązania różniące się przestawieniem dwóch różnych liczb traktujemy jako różne.

[porfirion]

Podziel równanie przez \(\displaystyle{ 2}\), i zauważ, że:

Zad. 4
Wskazać bijekcję między zbiorem wszystkich ciągów binarnych złożonych z n
jedynek oraz k - 1 zer a zbiorem rozwiązań równania
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n}\)
gdzie każde\(\displaystyle{ x_{i}}\) jest nieujemną liczbą całkowitą.

Każde rozwiązanie odpowiada jednemu ciągowi binarnemu, w którym mamy \(\displaystyle{ k+n-1}\) bitów. Ciąg zaczyna od wypisania ilości jedynek odpowiadającej wartości \(\displaystyle{ x_{1}}\) pisząc 0 "przeskakujemy" na następną liczbę. Na przykład 0+2+0+3=5 zapiszemy 0110111.

cytat z 367307.htm

[Zephi]

porfirion, niestety nie za wiele zrozumiałem z Twojej wiadomości ;/

[porfirion]

Oznaczamy: \(\displaystyle{ r_{1}=2r_{1}'}\) itd. Skąd: \(\displaystyle{ r_{1}'+r_{2}'+r_{3}'=50}\).
Rozwiązań tego równania jest dokładnie tyle samo co rozwiązań równania wyjściowego, jedyna różnica jest taka, że pozbyliśmy się ograniczenia na parzystość liczb \(\displaystyle{ r_{i}:i \in \left\{ 1,2,3\right\}}\).
Dostajemy więc równanie postaci: \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\)-y są nieujemne całkowite i \(\displaystyle{ n}\) jest naturalne.
O tym jak policzyć liczbę rozwiązań takiego równania traktuje zamieszczony cytat.