Na ile sposobów...

[Miralem]

Mamy \(\displaystyle{ 10}\) osób (są to osoby rozróżnialne) i \(\displaystyle{ 4}\) wagony. Na ile sposobów możemy umieścić osoby w wagonach, by żaden nie był pusty?

Co powiecie na to: najpierw zapełniamy każdy wagon jedną osobą, by był spełniony warunek podstawowy na \(\displaystyle{ 10}\) po \(\displaystyle{ 4}\) sposobów, czyli na ile sposobów możemy zapisać \(\displaystyle{ 4}\) wagony \(\displaystyle{ 10}\) osobom.

A potem już zostaje nam \(\displaystyle{ 6}\) pozycji, na każdą mamy cztery możliwości wagonu, więc \(\displaystyle{ 6}\) do potęgi \(\displaystyle{ 4}\).

I wtedy wynik to \(\displaystyle{ 10}\) po \(\displaystyle{ 4}\) razy \(\displaystyle{ 6}\) do potęgi \(\displaystyle{ 4}\)?

[Ponewor]

W ten sposób niektóre sytuacje liczysz po kilka razy. Pokażę Ci to na przykłądzie zredukowanym do pięcu osób - \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Panów \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) wrzucamy do kolejnych wagonów. A na koniec dorzucamy pana \(\displaystyle{ E}\) do towarzystwa pana \(\displaystyle{ A}\). Potem robimy rzekomo inne ustawienie - panów \(\displaystyle{ E, \ B, \ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) wrzucamy do kolejnych wagonów, a na koniec pana \(\displaystyle{ A}\) dorzucamy do towarzystwa pana \(\displaystyle{ E}\). To są tożsame ustawienia, ale liczysz je podwójnie.

EDIT
ja bym policzył ilość tych ustawień w których choć jeden wagon jest pusty.

[Miralem]

Ale tu nie chodzi o ilość osób w wagonie tylko skład. Dlatego nie dzieliłem przez \(\displaystyle{ 10!}\), bo wg mnie kolejność ma znaczenie.

Edit: przeanalizowałem, to co napisałeś i już sam nie wiem. Bo pod względem składu, pan 1 i pan 3 = pan 3 i pan 1. Ale czy jest to jeden możliwy wybór czy dwa?

[Andreas]

Kombinacje z powtórzeniami
\(\displaystyle{ {10+4-1 \choose 4 }={13 \choose 4 }=715}\)