funkcja tworząca

[waliant]

mam problem, jak za pomocą funkcji tworzącej otrzymać jawną postać ciągu zdefiniowanego rekurencją: \(\displaystyle{ a_0=1 \\ a_{n+1}=2a_n+(-2)^n}\)

[Qń]

A z czym dokładnie masz problem? Nie wiesz czym jest funkcja tworząca? Nie znasz schematu? Nie umiesz rozłożyć funkcji wymiernej na ułamki prostej?

Q.

[waliant]

nie wiem jak mam poradzić sobie z tym \(\displaystyle{ (-2)^n}\).

Zapisuję \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n =1+ 2x \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1} +(-2)^n}\)

i jak dalej?

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n =1+ 2x \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1} +(-2)^n}\)

Skąd wziąłeś tę równość?

Q.

[waliant]

wzorowałem się na tym temacie, ale tam nie ma tego \(\displaystyle{ \left( -2\right)^n}\) 365229.htm?hilit=funkcja%20tworzaca

[Qń]

Przecież to zupełnie nie tak.

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n= a_0 +\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=\\ = a_0 +\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}= a_0 +x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^n = \\ =
1+ x\sum_{n=0}^{\infty}(2a_n+(-2)^n)x^n}\)

I teraz należy rozbić sumę na dwie części - z jednej trzeba "wydobyć" \(\displaystyle{ f(x)}\), a druga to zwykły szereg geometryczny, który można zwinąć.

Q.

[waliant]

czyli dalej tak:

\(\displaystyle{ f(x)=1+2xf(x)+ \frac{x}{1+2x}\\ f(x)= \frac{3x+1}{(2x+1)(1-2x)}= \frac{- \frac{1}{4} }{2x+1}+ \frac{ \frac{5}{4} }{1-2x}= \sum_{n=0}^{ \infty }- \frac{1}{4}(-2)^n x^n + \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{5}{4}2^n x^n = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( - \frac{1}{4}(-2)^n+ \frac{5}{4}2^n \right)x^n \Rightarrow a_n= - \frac{1}{4}(-2)^n+ \frac{5}{4}2^n}\)

[Qń]

Zgadza się.

Q.