suma współczynników w rozwinięciu

[waliant]

Jak policzyć sumę współczynników w rozwinięciu \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)^{9}}\) ?

[yorgin]

Współczynniki przy \(\displaystyle{ a^kb^lc^m}\) są postaci

\(\displaystyle{ {9\choose k, l, m}}\)

gdzie \(\displaystyle{ k+l+m=9}\) i przebiegają one wszystkie kombinacje.

Z drugiej strony,

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k+l+m=9}{9\choose k, l, m}=(1+1+1)^9}\)

[waliant]

czyli jaki jest wynik ostateczny?

[yorgin]

\(\displaystyle{ 19\ 683}\)

[waliant]

Czyli np. w rozwinięciu \(\displaystyle{ \left( a+b+c+d\right)^{7}}\) wystąpi:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k+l+m+n=7}{7\choose k, l, m, n}=(1+1+1+1)^7}\) wyrazów?

[yorgin]

Nie. Dlatego, że teraz pytasz o coś zupełnie innego.

[waliant]

oczywiście chodziło o sumę współczynników

[yorgin]

A to wtedy tak.

To jest zwykła analogia do tradycjnego rozwinięcia

\(\displaystyle{ (a+b)^n=\ldots}\)

gdzie suma współczynników to \(\displaystyle{ (1+1)^n=2^n}\).