Ile jest permutacji zbioru liczb 1, 2, ..., 10, w których pierwsza liczba jest większa od 2, a ostatnia mniejsza od 9?
Mój pomysł: liczymy wszystkie permutacje i odejmujemy te, które nam nie pasują. Wszystkich jest \(\displaystyle{ 10!}\). Złe to te, w których jedynka lub dwójka jest na początku, a ich jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 9!}\) (\(\displaystyle{ \cdot 2}\), bo są dwie te liczby). Złe to również te, w których 9 lub 10 jest na końcu. Ich też jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 9!}\). Ale niektóre permutacje odjęliśmy 2 razy! Mowa o tych, w których na początku jest 1 lub 2, a na końcu 9 lub 10. Więc te permutacje trzeba dodać. Ich liczba to \(\displaystyle{ 8! \cdot 2 \cdot 2}\). Wynik ostateczny: \(\displaystyle{ 10!-2 \cdot 9! - 2 \cdot 9! + 8! \cdot 2 \cdot 2}\).
No to sposób nieprawidłowy już znamy. Jak rozwiązać to w sposób prawidłowy?