dwumian newtona sprawdzenie

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
lesmate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 4 wrz 2012, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 39 razy

dwumian newtona sprawdzenie

Post autor: lesmate »

oblicz\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}5^{k-1} {n \choose k}}\)
rozwiązanie

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}5^{k-1} {n \choose k}}\)
najpierw chcę obliczyć większą sumę.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}5^{k-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}5^{k}\cdot 5^{-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k}\cdot 5^{-1} {n \choose k}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k} {n \choose k}=}\)
skorzystam ze wzoru
\(\displaystyle{ (a+b)^2= \sum_{n=0}^{k} {n \choose k} a^{n-k}b^k}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{n}1^{n-k}5^{k} {n \choose k}= \frac{1}{5}(1+5)^n= \frac{1}{5} 6^n}\)

suma jest zawyżona o dwa składniki pierwszy \(\displaystyle{ k=0}\) i ostani \(\displaystyle{ n=k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{0}5^{0-1} {0 \choose 0}= \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{n}5^{n-1} {0 \choose 0}= \frac{1}{5} 5^n}\)

ostateczny wynik \(\displaystyle{ 6^n-\frac{1}{5} 5^n- \frac{1}{5}}\)
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

dwumian newtona sprawdzenie

Post autor: mortan517 »

Prawie dobrze. W ostatecznym wyniku coś zgubiłeś.
lesmate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 4 wrz 2012, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 39 razy

dwumian newtona sprawdzenie

Post autor: lesmate »

\(\displaystyle{ \frac{1}{5}6^n-\frac{1}{5} 5^n- \frac{1}{5}}\)

jasne:), dobrze ze tok rozumowania jest właściwy. dzieki
ODPOWIEDZ