Równanie różnicowe (rekurencyjne?)

[cris223]

Uprzejmie proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

1.Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ L_{n+2}-L_{n+1}+2 \cdot L_{n}=-5}\)

Brak warunków początkowych

Próbowałem to liczyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ L_{n+2}-L_{n+1}+2 \cdot L_{n}=-5 \\
L_{n+2}-L_{n+1}+2 \cdot L_{n}=0 \\ \\
L_{n}= q^{n} \\ \\
q^{n+2}-q^{n+1}+2 \cdot q^{n}=0 \setminus : q^{n} \\
q^{2}-q+2=0\\
q_{1}= \frac{1}{2} \cdot (1-i \cdot \sqrt{7} ) \\
q_{2}= \frac{1}{2} \cdot (1+i \cdot \sqrt{7} ) \\
L_{n}=A \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot \left( 1-i \cdot \sqrt{7} \right)\right]^{n}+B \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot \left( 1+ \sqrt{7} \right) \right]^{n} \\
L_{n}= \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \cdot \left[ A \cdot \left(1-i \cdot \sqrt{7} \right)^{n}-B \cdot \left( 1+i \cdot \sqrt{7}\right)^{n} \right]}\)

Ale nie wiem jak dalej wyznaczyć współczynniki A i B oraz czy tak to się powinno rozwiązywać.
Na podstawie tego czego udało mi się dowiedzieć w internecie nie jestem pewien czy jest to równanie różnicowe niejednorodne czy też może równanie rekurencyjne.

[waliant]

a skąd się wzięło \(\displaystyle{ L_{n+2}-L_{n+1}+2 \cdot L_{n}=0}\) ? Co się stało z \(\displaystyle{ -5}\) ?

[cris223]

Na początku rozwiązuje się równanie jednorodne powstałe z odrzucenia -5 a potem wyznacza się dopiero poszczególne współczynniki przy wyrazach z pierwszego równania.
Przynajmniej tak jest napisane tutaj:https://www.matematyka.pl/304902.htm#p4958153

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ l_{n+2}-l_{n+1}+2 \cdot l_{n}=-5\\
l_{n}-l_{n-1}+2l_{n-2}=-5\\
L\left( t\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{-l_{n-1}t^{n-1}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{2l_{n-2}t^{n-2}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{-5t^n}\\
\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^n}-l_{0}-l_{1}t \right)-t\left( \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}-l_{0} \right) \right)+2t^{2}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^n}\right)=-5\left( \frac{1}{1-t}-1-t \right) \\
L\left( t\right)-l_{0}-l_{1}t-tL\left( t\right)+l_{0}t+2t^2L\left( t\right)=-\frac{5}{1-t}+5+5t\\
\left( 1-t+2t^2\right)L\left( t\right)=-\frac{5}{1-t}+5+5t+\left( l_{1}-l_{0}\right)t+l_{0}\\
\left( 1-t+2t^2\right)L\left( t\right)=-\frac{5}{1-t}+\left( 5+l_{0}\right)+\left(5+l_{1}-l_{0}\right) t \\
L\left( t\right)=-\frac{5}{\left( 1-t\right)\left( 1-t+2t^2\right) }+ \frac{\left( 5+l_{0}\right)+\left(5+l_{1}-l_{0}\right)t}{\left( 1-t+2t^2\right) }\\
L\left( t\right)=\frac{A}{\left( 1-t\right) }+\frac{B}{1- \frac{1- \sqrt{7}i }{2}t }+\frac{C}{1- \frac{1+ \sqrt{7}i }{2}t }}\)

[cris223]

Potrzebowałbym drobnego wyjaśnienia do tego co napisałeś bo nie wiem jak to policzyłeś. Zależałoby mi na zrozumieniu sposobu rozwiązywania, a nie samym rozwiązaniu. Wiem tylko, że równania różnicowe jednorodne liczę tym sposobem:



Wiedząc że równania różnicowe są dyskretnym odpowiednikiem równań różniczkowych wnioskuje, że aby policzyć równanie różnicowe niejednorodne muszę podobnie jak z równaniem różniczkowym niejednorodnym policzyć najpierw równanie jednorodne,a potem uzmiennić stałą(w różniczkowych) i otrzymać rozwiązanie. Z tym, że nie wiem jak policzyć równanie różnicowe niejednorodne.

[Mariusz M]

Poczytaj o funkcji tworzącej

[cris223]

Pomyliłem się przy przepisywaniu zadania więc teraz wygląda to tak:
(według kolegi, którego się pytałem to powinno być właściwe rozwiązanie)

Metoda Przewidywania

\(\displaystyle{ L_{n+2}-L_{n+1}-2 \cdot L{n}=-5 \\
Rozwiązanie \ rownania \ stowarzyszonego \\
L_{n+2}-L_{n+1}-2 \cdot L{n}=0 \\

L_{n}=q^{n} \\
q^{2}-q-2=0 \\
\Delta=3 \\
q_{1}=-1\\
q_{2}=2\\

L_{n}=L_{pn}+L_{nc} \\
L_{nc}=C_{1} \cdot (-1)^{n}+C_{2} \cdot 2^{n}\\

Wyznaczenie \ anihilatora\\

g(n)=-5 \cdot 1^{n}\\
N(E)=E-1\\
\mu_{1}=1\\
L_{pn}=a_{1} \cdot 1^{n}\\
a_{1}-a_{1}-2 \cdot a_{1}=-5\\
a_{1}= \frac{5}{2} \\
L_{pn}=\frac{5}{2}\\
L_{n}=C_{1} \cdot (-1)^{n}+C_{2} \cdot 2^{n}+ \frac{5}{2} \\}\)
Prosiłbym o sprawdzenie czy to rzeczywiście jest dobrze.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ l_{n+2}-l_{n+1}-2 \cdot l_{n}=-5 \\
l_{n}-l_{n-1}-2l_{n-2}=-5\\
L\left( t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^n} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n}t^n}- \sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n-1}t^{n}}-2\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n-2}t^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{-5t^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n}t^n}- t\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n-1}t^{n-1}}-2t^2\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n-2}t^{n-2}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{-5t^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{l_{n}t^n}- t\sum_{n=1}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}-2t^2\sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{-5t^n}\\
\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}-l_{0}-l_{1}t \right) - t\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}-l_{0} \right) -2t^2\sum_{n=0}^{ \infty }{l_{n}t^{n}}= \sum_{n=0}^{ \infty }{-5t^n}-\left( -5-5t\right) \\
L\left( t\right)-l_{0}-l_{1}t-tL\left( t\right)+l_{0}t-2t^2L\left( t\right)=-\frac{5}{1-t}+5+5t\\
L\left( t\right)\left( 1-t-2t^2\right)=-\frac{5}{1-t}+5+5t+l_{0}+l_{1}t-l_{0}t\\
L\left( t\right)\left( 1-t-2t^2\right)=-\frac{5}{1-t}+\left( 5+l_{0}\right)+\left( 5+l_{1}-l_{0}\right)t\\
L\left( t\right)=-\frac{5}{\left( 1-t\right)\left( 1-t-2t^2\right) }+ \frac{\left( 5+l_{0}\right)+\left( 5+l_{1}-l_{0}\right)t}{\left( 1-t-2t^2\right)}\\
L\left( t\right)= \frac{-5+\left( \left( 5+l_{0}\right)+\left( 5+l_{1}-l_{0}\right)t\right)\left( 1-t\right) }{\left( 1-t\right)\left( 1-t-2t^2\right) } \\
\left( 1-\frac{t}{2}\right)^2-\frac{9}{4}t^2\\
\left( 1-\frac{t}{2}-\frac{3t}{2}\right)\left( 1-\frac{t}{2}+\frac{3t}{2}\right)\\
\left( 1-2t\right)\left( 1+t\right)\\
L\left( t\right)= \frac{A}{1-t}+ \frac{B}{1-2t}+ \frac{C}{1+t}\\
L\left( t\right)= \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{1-t}+ \frac{1}{3}\left( l_{1}+l_{0}-5 \right) \cdot \frac{1}{1-2t}- \frac{1}{6}\left(2l_{1}-4l_{0}+5 \right) \cdot \frac{1}{1+t}\\
L\left( t\right)=\frac{5}{2}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{t^n} \right)+ \frac{1}{3}\left( l_{1}+l_{0}-5 \right)\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{2^{n}t^{n}} \right)- \frac{1}{6}\left(2l_{1}-4l_{0}+5 \right)\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nt^n } \right) \\
l_{n}=\frac{5}{2}+\frac{1}{3}\left( l_{1}+l_{0}-5 \right)2^n- \frac{1}{6}\left(2l_{1}-4l_{0}+5 \right)\left( -1\right)^n}\)