turniej szachowy, wykaż że ...

[Tomasz B]

W turnieju szachowym wzięło udział 1997 zawdoników. Każdy z nich rozegrał z każdym jedną partię i nie zanotowano remisów. Zawodnik z numerem k (dla \(\displaystyle{ k=1,2,3, ..., 1997}\)) wygrał \(\displaystyle{ x_{k}}\) partii, a przegrał \(\displaystyle{ y_{k}}\) partii. Wykaż że

\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ ... + x_{1997}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^2+ ... + y_{1997}^{2}}\)

jak to rozwiązać ? wskazówki itp...

[_el_doopa]

wszystko na jedna strone:
różnica kwadrtów
zauważ że \(\displaystyle{ x_i+y_i=const}\)
zuważ że \(\displaystyle{ \sum x_i=\sum y_i}\)

[Tomasz B]

i to już koniec zadania ? wystarczy tylko to ?

[_el_doopa]

\(\displaystyle{ \sum x_i=\sum y_i}\)
\(\displaystyle{ \sum x_i-y_i=0}\)
a skoro \(\displaystyle{ x_i+y_i=const}\)
\(\displaystyle{ \sum (x_i-y_i)(x_i+y_i)=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sum x_i^2=\sum y_i^2}\)